Théorie de calcul - exercitation 6, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Théorie de calcul - exercitation 6, Exercices de Théorie de calcul

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la théorie de calcul - exercitation sur 6 sur le nombre complexe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer et représenter l’ensemble (¡) des points m, Étudier les variations de f0 et f1.
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[ Baccalauréat C Nice juin 1984 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

, on considère le

pointm d’affixe z = x+ iy avec (x ; y) ∈R2. Lorsque z est différent de −i, on envisage le nombre complexe :

Z = z2

z+ i .

1. Déterminer et représenter l’ensemble (Γ) des points m tels que Z soit imagi- naire pur.

2. Résoudre dans C l’équation :

z2+2iaz−2a = 0

a est un réel donné.

Montrer que les images des solutions de cette équation appartiennent à (Γ). Ce résultat était-il prévisible ?

EXERCICE 2 4 POINTS

Dans le plan orienté rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→

)

, on donne

le point A de coordonnées (0 ; 1) et le cercle (C ) de centre A et de rayon 1. Soit B un point de l’axe des abscisses, distinct de O. Soit (C ′) le cercle de centre B passant par A.

1. Onappelleϕ lamesure de l’angle (

−−→ AO ,

−−→ AB

)

, appartenant à l’intervalle ]

π

2 ; +

π

2

[

.

Exprimer en fonction de ϕ l’abscisse de B et le rayon du cercle (C ).

2. a. Déterminer les deux homothéties qui transforment (C ) en (C ′) : on dé- terminera le rapport et les coordonnées du centre de chacune de ces ho- mothéties.

b. Montrer que l’ensemble des centres de ces homothéties, lorsque B par- court l’axe des abscisses (en restant distinct de O), est inclus dans une parabole que l’on demande de construire.

PROBLÈME 12 POINTS

On note f0 la fonction numérique définie sur R+ par

x ∈R+, f (x)= e −x .

Pour tout réel α strictement positif on note la fonction numérique définie sur R+ par :

(0)= 0 et ∀x ∈R ⋆

+ , (x)= x

α ·e−x .

Pour tout réel α positif, on notera (Cα) la courbe représentative de dans un plan rapporté à un repère orthonormal.

Partie A

1. Étudier les variations de f0 et f1. Représenter les courbes (C0) et (C1) sur une même figure (unité : 5 cm). On précisera la position de (C0) par rapport à (C1).

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

2. Soit α un réel strictement positif et différent de 1. Étudier la continuité et la dérivabilité de en 0. Étudier les variations de .

3. Soitα un réel strictement positif. Préciser les positions relatives sur R⋆+ de (C0) et (C1).

Soit deux réels α et β tels que 0<α<β. Préciser les positions relatives sur R⋆+ de (Cα) et (Cβ). Démontrer que toutes les courbes (Cα) passent par unmême point et déterminer une équation de la tangente à la courbe (Cα) en ce point.

4. Représenter les courbes (C1) et (Ce) sur une même figure (unité : 5 cm), dis- tincte de celle demandée à la question 1.

5. α étant un réel strictement positif, soit la restriction de à l’intervalle [α ; +∞[. Démontrer que admet une fonction réciproque .

On précisera l’ensemble de définition de , le sens de variation de ainsi que les propriétés de continuité et de dérivabilité de .

Représenter graphiquement la courbe représentative deh 1 2 sur lamêmefigure

qu’à la question 4.

Partie B

Dans cette partie, on suppose que α= n est un entier naturel. On considère la fonc- tion Fn définie sur R+ par

x ∈R+, Fn(x)= ∫x

0 fn (t)dt .

1. Calculer F0(x) et F1(x) pour x ∈ R+ et déterminer les limites des fonctions F0 et F1 lorsque x tend vers plus l’infini.

2. Pour n> 1 montrer que

x ∈R+, Fn(x)=−xe −x

+nFn−1(x).

3. A l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier n, la fonction Fn admet une limite finie lorsque x tend vers plus l’infini. On notera cette limite un .

Quelle relation existe-t-il entre un et un−1 ?

En déduire la valeur de un pour tout entier n.

4. Pour n ∈N⋆ étudier les variations de Fn .

On donnera l’allure de la courbe représentative de F3.

5. a. Montrer que

n ∈N⋆, Fn (1)

n! =−

e−1

n! + Fn−1(1)

(n−1)! .

b. En déduire que

n ∈N, Fn(1)

n! = 1−e−1

(

n

p=0

1

p !

)

.

c. En utilisant une majoration de fn (t) sur l’intervalle [0 ; 1], pour n > 1, montrer que

n ∈N⋆, 06 Fn(1)6 1

e .

d. À l’aide de 5. b. et 5. c., en déduire la limite de n

p=0

1

p ! lorsque n tend vers

l’infini.

Nice 2 juin 1984

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