Théorie de calcul - exercitation 7, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Théorie de calcul - exercitation 7, Exercices de Théorie de calcul

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la théorie de calcul - exercitation sur 7 sur l’ensemble des sommets des paraboles. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la continuité et la dérivabilité de f, la limite de fp.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Nice septembre 1984 \

EXERCICE 1 5 points

1. u étant un nombre complexe de module 1 et d’argument θ ∈ ]0 ; 2π[, détermi- ner le module et un argument du nombre complexe z tel que

z− i

z+ i = u.

2. On considère l’équation dans C :

(E) : (

z2+1 )n

− (z+ i)2n = 0

n est un entier non nul donné.

En remarquant que −i est solution de (E), résoudre (E).

EXERCICE 2 5 points

In considère, dans le plan, une droite donnée (D), et un point donné A, n’apparte- nant pas à (D).

1. Quel est l’ensemble des foyers des paraboles passant par le point A et ayant pour directrice la droite (D) ?

Représenter cet ensemble dans le plan.

2. Démontrer que l’ensemble des sommets des paraboles passant par A et ayant (D) pour directrice est inclus dans une ellipse (E).

Déterminer (E) sur la figure précédente.

PROBLÈME 10 points

Les parties II et III sont indépendantes, l’une de l’autre. La partie III est, dans une largemesure, indépendante de I.

Soit le plan P rapporté à un repère orthonormal R = (

O, −→ ı ,

−→

)

. Dans tout le pro-

blème on note, pour tout p ∈Z, fp la fonction définie par :

{

fp (x) = xp ln |x| six ∈R⋆

fp (0) = 0.

Soit C la courbe représentative de fp dans R.

Partie I

1. Étudier, suivant les valeurs de p, la continuité et la dérivabilité de fp en 0.

2. Étudier la parité de fp .

Calculer f ′(x) pour tout x ∈R⋆.

3. a. Calculer la limite de fp quand x tend vers +∞.

b. Étudier les variations de fp (on distinguera 4 cas :

p < 0,p = 0,p = 1,p > 1).

Terminale C A. P. M. E. P.

4. En calculant un développement limité d’ordre 1 de (1+h)p en zéro, et un dé- veloppement limité d’ordre 2 de ln(1+h) en zéro, déduire un développement limité d’ordre 2 de fp (1+h) en zéro.

En déduire l’équation de la tangente D à toutes les courbesCp au point d’abs- cisse 1, ainsi que les positions relatives de Cp et de D suivant les valeurs de p.

5. Donner l’allure des courbes C0, C1, C−2. On fera trois figures différentes, et l’on prendra 2 cm comme unité.

6. Pour tout p ∈ N⋆, déterminer, en intégrant par parties, l’aire de la partie de

plan limitée par la droite (

O, −→ ı

)

, les droites d’équations x = 1 et x = e 1

p+1 et la

courbe Cp .

Partie II

On considère la fonction g = f1 ◦sin.

On a donc

{

g (x) = sinx ln |sinx| six 6= kπ g () = 0.

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de g en 0.

2. Montrer qu’il existe un seul x0 ∈ [

0 ; π2 ]

tel que sinx0 = 1

e .

3. Étudier les variations de g en précisant la période et la parité ; puis tracer la

courbe représentative de g sur une période, dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité :

2 cm).

Partie III

On considère la suite (

up )

définie par u0 et pour tout p appartenant àN,

up+1 = f1 (

up )

.

1. Étudier (

up )

dans le cas où u0 = 0 ; u0 = e ; u0 =−e.

2. Si u0 = 1

e ou u0 =−

1

e , montrer que

(

up )

est une suite géométrique.

Est-elle convergente ?

3. On se place dans le cas où |u0| > e.

a. Si u0 > e, montrer que u1 > u0 > e et, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout p ∈N⋆,up >up−1 > e.

b. Si u0 <−e, montrer que u1 < u0 <−e et, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout p ∈N⋆,up <up−1 <−e.

Dans ces cas a et b montrer que ∣

up

∣> |u0| (ln |u0|) p .

La suite (

up )

est-elle convergente ?

Nice 2 juin 1985

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