Théorie de calcul - exercitation 8, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Théorie de calcul - exercitation 8, Exercices de Théorie de calcul

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la théorie de calcul - exercitation sur 8 sur la suite numérique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les vecteurs, la position.
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[ Baccalauréat C Orléans-Tours juin 1984 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit la suite numérique (In )n∈N⋆ définie pour tout n deN ⋆ par :

In = 1

n!

∫1

0 (1− x)nex dx.

1. Calculer I1.

2. Par intégration par parties, exprimer In en fonction de In−1 pour n> 2.

En déduire que In = e− p=n

p=0

1

p ! pour n > 1.

3. Majorer la fonction x 7−→ (1− x)nex sur l’intervalle [0 ; 1].

En déduire le limite de la suite (In )n∈N⋆ et montrer que :

e= lim n→+∞

(

1+ 1

1! +

1

2! +

1

3! +·· ·+

1

n!

)

.

N.B.- on rappelle les notations suivantes :

0!= 1 ; 1!= 1 ; pourn > 1, n!= 1×2×·· · ×n.

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit k un réel différent de 0 et de 1. On considère trois points A, B et C deux à deux

distincts tels que −−→ AC = k

−−→ AB et les cercles Γ1 et Γ2 de diamètres respectifs [AB] et

[AC]. Une droite∆ non perpendiculaire à (AB) et distincte de (AB), passant par A, recoupe les cercles Γ1 et Γ2 respectivement en M et N.

1. a. Quelle est la position relative des droites (BM) et (CN) ?

b. Pour quelle valeur de k les droites (BN) et (CM) sont-elles parallèles ?

2. On suppose désormais k fixé et différent de −1. Soit P le point d’intersection des droites (BN) et (CM).

a. Soit h l’homothétie de centre P telle que h(B) = N.

Démontrer que h(M) = C. Calculer le rapport de l’homothétie h en fonc-

tion du réel k (on pourra se servir des vecteurs −−→ BM et

−−→ NC ).

b. Déterminer le réel α tel que

−→ BP =α

−−→ BN .

Quel est le lieu géométrique du point P lorsque ∆ varie ?

En se plaçant dans le cas où k = 2 et où la distance AB est égale à 6 cm, donner les éléments géométriques remarquables du lieu géométrique L de P, et faire une figure soignée.

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

Soit (

O, −→ ı ,

−→

)

un repère orthonormal direct du plan.

Soit f1 la fonction numérique de variable réelle définie par

f1(x)=−2x+ √

3 (

x2−1 )

.

1. a. Étudier les variations de f1.

b. SoitC1 sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Démontrer queC1 admet deuxdroites asymptotes, passant l’une et l’autre par l’origine et déterminer la position de C1 par rapport à ces asymp- totes.

Préciser les tangentes à C1 aux points d’abscisse - 1 et 1.

Construire C1 (on prendra comme unité : 2 cm).

2. Soit f2 la fonction numérique de variable réelle définie par

f2(x)=−2x− √

3 (

x2−1 )

.

Montrer que sa courbe représentative C2 est l’image de C1 par la symétrie de centre O. Montrer que la courbe C1∪C2 a pour équation

x2+4xy + y2+3= 0.

Construire cette courbe que l’on notera C .

Partie B

1. Soit S la transformation du plan qui au point M d’affixe z fait correspondre le point M ′ d’affixe z ′ telle que

z ′ =

p 6

2 (1+ i)z.

Caractériser cette transformation. Trouver l’équation de la courbe H trans- formée de C par cette transformation S.

Donner la nature de la courbe H ainsi obtenue.

2. En utilisant la définition bifocale d’une hyperbole montrer que l’image par une similitude d’une hyperbole est encore une hyperbole. En déduire que la courbe H est une hyperbole dont on donnera les foyers (on précisera les co- ordonnées de ces deux points).

Orléans-Tours 2 juin 1984

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