Théorie de calcul - exercitation 9, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Théorie de calcul - exercitation 9, Exercices de Théorie de calcul

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la théorie de calcul - exercitation sur 9 sur le point M′ de coordonnées x′ et y′. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer l’ensemble des points invariants par f . Montrer que l’image de P par f est ...
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[ Baccalauréat C Paris 1 juin 1984 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Le plan P est rapporté au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On considère l’application affine f qui à tout point M de P, de coordonnées x et y associe le point M ′ de coordonnées x′ et y ′ données par : ?

{

x′ = x−2y +2 y ′ = −2x+4y −1.

1. Déterminer l’ensemble des points invariants par f .

2. Montrer que l’image de P par f est une droiteD.

3. Montrer que f = h p, où h est une homothétie qu’on déterminera et p la projection orthogonale sur la droiteD.

EXERCICE 2 4 POINTS

Dans le plan, rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, on considère la courbe

(Cm) d’équation

mx2+ y2−2x = 0.

1. Discuter suivant les valeurs dem la nature de la courbe (Cm).

2. Tracer les courbes (C0) et (C2) sur une même figure. L’unité de longueur est 4 cm.

PROBLÈME 2 POINTS

Le symbole ln désigne la fonction logarithme népérien. Les courbes de la partie A sont à construire dans le plan muni rapporté au même

repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. L’unité de longueur est 2 cm.

Partie A

1. À tout réel x, tel que cosx 6= 0, on associe :

f (x)=− ln |cosx|.

a. Étudier la fonction f ainsi définie.

b. Construire la courbe représentative de f , notée (C ).

2. On note S l’ensemble des solutions de l’équation

x ∈R cosx+ p 3sinx = 0.

a. Résoudre cette équation.

b. On considère la fonction

g = (

R− {S} → R x 7−→ − ln

∣cosx+ p 3sinx

)

Montrer que (Γ), courbe représentative de g , est l’image de (C ) par une application affine que l’on caractérisera.

1. Paris, Créteil, Versailles

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

3. On note la restriction de f à l’intervalle [

0 ; π

2

]

.

a. Montrer que admet une fonction réciproque, notée −1. Calculer −1 (

ln p 2 )

.

b. Étudier la dérivabilité de −1. Montrer que, pour tout réel strictement positif x, on a :

(

−1 )′ (x)=

1 p e2x −1

.

c. Dessiner la courbe représentative de −1, notée (C ).

4. La suite u est définie par u0 = π

4 et, pour tout entier naturel non nul n, un =

f (un−1).

a. Montrer que l’équation

x ∈ ]π

3 ; π

2

[

, f (x)= x

admet une unique solution, notée . Donner un encadrement de dans un intervalle de longueur 10−2.

b. Montrer, par récurrence, que tous les termes de la suite u appartiennent

à l’intervalle [

0 ; π

4

]

.

Montrer que u est décroissante.

c. Montrer que u est convergente et trouver sa limite.

Partie B

On considère la fonctionG, définie sur R⋆+ par

G(x)= ∫x

ln p 2

1 p e2t −1

dt .

1. Montrer qu’il existe un réel k, que l’on calculera, tel que pour tout réel stricte- ment positif, on ait

G(x)= f −1(x)+k.

2. Montrer queG admet une limite en plus l’infini et une limite en 0. Calculer ces limites.

Partie C

1. a. α est un nombre réel, résoudre l’équation

Eα, 1

{

z ∈C z2−2z cosα+1= 0.

b. En déduire la forme trigonométrique des solutions de l’équation

Eα,n

{

z ∈C z2n −2zn cosα+1= 0.

dans laquelle n est un entier naturel non nul donné.

2. Pour tout entier naturel non nul n, pour tout réel α, pour tout complexe z, on pose

(z)= z2n −2zn cosα+1.

On admet que, pour tous z, α et n, on a

Paris, Créteil, Versailles 2 juin 1984

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

(z)= (

z2−2z cos α

n +1

)

×·· ·× (

z2−2z cos (

α

n + 2

n

)

+1 )

· · ·

×· · ·× (

z2−2z cos (

α

n + 2(n−1)π

n

)

+1 )

.

et on note

(z)= n−1 ∏

k=0

[

z2−2z cos (

α

n + 2

n

)

+1 ]

.

a. Calculer (1) et en déduire que

n−1 ∏

k=0 sin2

(

α

2n +

n

)

− sin2

(

α 2

)

4n−1 .

b. Pour toutα élément de l’intervalle [0 ; π[ et pour tout naturel n supérieur ou égal à 2, on pose

Hn(α)= n−1 ∏

k=1 sin

(

α

2n +

n

)

.

Montrer que, pour α non nul, on a

2n−1Hn(α)= sin

(

α 2

)

sin (

α 2n

) .

c. Quelle est la limite de Hn(α), lorsque α tend vers 0 ?

d. En déduire que pour tout naturel n supérieur ou égal à 2 :

sin π

n ·sin

2π

n · · · ·sin

(n−1)π n

= n

2n−1

Paris, Créteil, Versailles 3 juin 1984

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