Théorie de calcul - travaux pratiques 11, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Théorie de calcul - travaux pratiques 11, Exercices de Théorie de calcul

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La théorie de calcul - travaux pratiques sur la médiatrice du segment. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les relations.
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[ Baccalauréat C Étranger groupe Ibis juin 1986 \

EXERCICE 1 5 points

Soit dans un plan, un triangle A1A2A3. Á tout point M du plan, distinct des sommets A1, A2, A3, du triangle, on associe : a. les points M1, M2, M3, symétriques de M dans les symétries orthogonales s(A2A3), s(A3A1), s(A1A2) d’axes respectifs (A2A3), (A3A1), (A1 A2). b. Les droites ∆1, ∆2, ∆3 issues des sommets A1, A2, A3 et respectivement perpendi- culaires aux droites (M2M3), (M3M1), (M1M2). Les symétries orthogonales d’axes ∆i , i ∈ {1, 2, 3}, sont notées si .

On désigne par −→

u1 , −→

u2 , −→

u3 des vecteurs directeurs respectifs de ∆1, ∆2, ∆3.

1. Démontrer que ∆1 est la médiatrice du segment [M2M3].

2. Soit s = s(A1A3) ◦ s∆1 ◦ s(A1A2).

a. Quelle est la nature de s ?

b. Déterminer s (A1) et s(M). Caractériser s.

c. Démontrer que

á(−−−→ A1A3 ,

−−−→

A1M ) ≡

á(−→ u1 ,

−−−→

A1A2 )

(π) (1)

3. Établir d’une manière analogue

á(−−−→ A2A1 ,

−−−→

A2M ) ≡

á(−→ u2 ,

−−−→

A2A3 )

(π) (2)

et á(−−−→

A3A2 , −−−→

A3M ) ≡

á(−→ u3 ,

−−−→

A3A1 )

(π) (3)

4. Montrer que l’ensemble (C ) des points M du plan, distincts des sommets A1, A2, A3, tels que les points M1, M2, M3 soient alignés est contenu dans le cercle circonscrit au triangle A1 A2A3.

5. On suppose, dans cette question, que le point M n’appartient pas à (C ).

a. Démontrer que les droites ∆1,∆2,∆3 sont concourantes en un point P que l’on caractérisera pour le triangle M1M2M3.

Dans la suite du problème ce point P appelé l’associé du point M .

b. Quel est l’associé d’un point M appartenant aux côtés du triangle A1 A2A3 et distinct des sommets de ce triangle ?

c. On suppose que le point M n’appartient pas aux supports des côtés du triangle A1 A2A3.

Démontrer, en utilisant les relations (1), (2) et (3) que si M a pour associé P alors le point P a pour associé le point M .

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