Théorie de calcul - travaux pratiques 3, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Théorie de calcul - travaux pratiques 3, Exercices de Théorie de calcul

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La théorie de calcul - travaux pratiques sur le polynôme. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Résoudre l’équation pour les valeurs de A. Déterminer et préciser la nature de l’ensemble des centres des cercles...
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[ Baccalauréat C Amérique du Nord juin 1986 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Soit le polynôme

P (z)= z3−4z +λ

z désigne un nombre complexe et λ un nombre réel.

1. Montrer que si P (z)= 0 admet une racine complexe , alors est aussi solu- tion.

En déduire que l’équation P (z) = 0 admet au moins une solution réelle sans

chercher à résoudre l’équation.

2. Déterminer λ pour que l’équation P (z)= 0 admette une racine réelle de mo- dule 2. Résoudre l’équation pour la valeur de λ trouvée.

3. Déterminer λ pour que l’équation P (z) = 0 admette une racine complexe de module 2.

Résoudre l’équation pour les valeurs de λ trouvées et préciser le module et

l’argument de chaque solution.

EXERCICE 2 5 POINTS

Dans le plan, on donne deux points distincts A et B.

Soit (D) la perpendiculaire à (AB) en B. On considère tous les cercles (C) du plan

caractérisés par la propriété suivante : T et T′ étant deux points de contact des tan-

gentes menées en A au cercle (C), le triangle ATT′ est équilatéral.

1. En étudiant le rapport des distances du centre d’un cercle (C) aux points A et B, déterminer et préciser la nature de l’ensemble des centres des cercles (C)

qui passent par B.

2. Déterminer et préciser la nature de l’ensemble des centres des cercles (C) tan- gents à la droite (D).

N.B.- Pour faire la figure on prendra AB = 6 cm.

PROBLÈME 10 POINTS

Partie A

Soit (E) l’équation différentielle du second ordre :

(e) y ′′−3y ′+2y = 0.

1. a. Quelles sont les solutions de (e).

b. Quelle est la solution de (e) dont la courbe représentative (C) admet au point d’abscisse 0 la même tangente que la courbe (C′) représentative de

y = e3x ? On dit que (C) et (C′) sont tangentes.

2. Représenter dans un même repère orthonormal les courbes (C) et (C′) dont on précisera les positions relatives.

3. λ étant un réel strictement positif, soit les fonctions telles que

(x)=−λ 2ex +2λe2x .

a. Montrer que est une solution de (e).

Le baccalauréat de 1986 A. P. M. E. P.

b. Soit (Cλ) la courbe représentative de c. Après avoir calculé en fonction de λ les coordonnées du point commun à (Cλ) et (C

′) montrer que les

deux courbes sont tangentes en ce point.

c. Préciser les positions relatives de (Cλ) et (C ′).

Partie B

Soit (

e ′ )

l’équation différentielle du second ordre :

y ′′−3y ′+2y =−x2+ x +2 (

e ′ )

1. Trouver un polynôme P du second degré solution de l’équation (

e ′ )

.

2. On pose f (x)= g (x)− 1

2 x2− x.

Montrer que f est solution de (

e ′ )

si, et seulement si, g est solution de l’équa-

tion (e).

En déduire les fonctions g solutions de (

e ′ )

.

3. Déterminer la solution de (

e ′ )

dont la courbe représentative passe par le point

de coordonnées (0 ; 2) et admet en ce point une tangente de coefficient direc-

teur 1.

Amérique du Nord 2 juin 1986

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