Théorie de calcul - travaux pratiques 4, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Théorie de calcul - travaux pratiques 4, Exercices de Théorie de calcul

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La théorie de calcul - travaux pratiques sur le triangle ABC rectangle en A et isocèle. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan complexe muni d’un repère orthonormé, les différents tableaux de variation ...
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Amérique du Sud novembre 1986 \

EXERCICE 1 4 points

Dans le plan P, soit le triangle ABC rectangle en A et isocèle tel que AB = AC = a a est un réel positif. Soitm un paramètre réel.

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur m pour que le système de points pondérés {(A, 2), (B, −1), (C, m)} admette un barycentreGm

2. ConstruireG0 puisG2. Vérifier que G0G2 = 2a

p 2

3 .

3. Déterminer les ensembles suivants :

a. Γ1 = {

M ∈P ; ∥

∥2 −−→ MA −

−−→ MB +2

−−→ MC

∥= ∥

−−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC

}

.

b. Γ2 = {

M ∈P ; ∥

∥2 −−→ MA −

−−→ MB +2

−−→ MC

∥= 2 ∥

−−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC

}

c. Γ3 = {

M ∈ P ; 2MA2−MB2+2MA2 = a2 }

.

On utilisera le fait que Γ3 passe par un point connu.

On dessinera Γ1, Γ2, Γ3.

EXERCICE 2 4 points

Soit P le plan complexe muni d’un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v )

.

ÀM(x ; y) on associe son affixe z = x+ iy . Soient les points A d’affixe 1+ i et B d’affixe −3. À un pointM d’affixe z(M 6= A etM 6= B), on associe le ou les pointsM ′, s’ils existent, d’affixes z ′ tels que :

z ′+3 z+3

imaginaire pur et

z ′−1− i z−1− i

réel

1. Donner une signification géométrique de arg z ′+3 z+3

et de arg z ′−1− i z−1− i

.

2. Prouver géométriquement qu’il existe un cercleC du plan tel que siM PC , M ′ existe et est unique. Construire alors M ′ lorsque M est donné.

3. Que se passe-t-il lorsque M ∈C − {A, B}?

PROBLÈME 12 points

Partie A

Soit a ∈ R∗, on se propose d’étudier la fonction numérique d’une variable réelle x définie par

fa (x)= eax 2 .

On appellera (Ca) la courbe représentative de fa dans un repère orthonormal R = (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Donner les différents tableaux de variation de fa suivant les valeurs de a.

2. Tracer (C1) et (C−1).

3. Soit ga la restriction de fa à [0 ; +∞[. Montrer que ga est une bijection de [0 ; +∞[ sur un intervalle Ia que l’on pré- cisera.

Déterminer g−1a .

Discuter suivant les valeurs de a.

Tracer sur la figure la courbe représentative de g−11 et celle de g −1 −1 .

4. Justifier les inégalités :

2x−16 x2 pour tout x ∈Ret

x2 6 3x−2 pour tout x ∈ [1 ; 2].

a. En déduire un encadrement de l’aire comprise entre (C−1) , xx, et les droites d’équation x = 1 et x = 2.

b. Soit I la fonction définie sur R par :

I (x)= ∫x

1 e−t

2 dt .

Montrer que I a une limite finie quand x tend vers +∞ dont on donnera une majoration.

Partie B

On se propose de rechercher les fonctions continues sur R telles que :

g (x+ yg (xy)= (g (xg (y))2 (1)

1. a. Montrer que fa vérifie (1).

b. Montrer que g (0) ne peut prendre que 3 valeurs.

c. Si g (0)= 0, prouver que g est l’application nulle. d. S’il existe x0 ∈R∗ tel que g (x0)= 0, montrer que pour tout n ∈N,

g ( x0

2n

)

= 0.

En déduire que g est la fonction nulle.

e. Si g vérifie (1) et si g n’est pas la fonction nulle, montrer que :

soit g (x)> 0 pour tout x ∈R, soit g (x)< 0 pour tout x ∈R. 2. Soit g une fonction continue sur R vérifiant (1) et telle que g (x)> 0 pour tout

x ∈R. Soit h la fonction définie sur R par h(x)= ln[g (x)]. a. Montrer que h(0)= 0. b. Vérifier que :

h(x+ y)+h(xy)= 2(h(x)+h(y))pour tout (x, y) ∈R2.

c. Montrer que h est une fonction paire.

En déduire que g est aussi une fonction paire.

d. Soit a = h(1). Déterminer h(2), h(3) et prouver par récurrence que :

h(n)= an2 pour tout n ∈N.

Amérique du Sud 2 novembre 1986

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

e. Prouver que h(nx)=n2h(x) pour tout n ∈N et tout x ∈R.

En déduire h

(

1

p

)

pour tout p ∈ N∗ puis h (

n

p

)

pour tout n ∈ N et tout

p ∈N∗. En déduire que h(x)= ax2 pour tout x ∈Q.

f. En admettant que tout nombre réel est la limite d’une suite de nombres rationnels, montrer que h(x) = ax2 pour tout x ∈ R et en déduire l’ex- pression de toutes les fonctions g strictement positives, continues sur R, vérifiant (1).

Amérique du Sud 3 novembre 1986

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