Théorie de calcul - travaux pratiques 6, Exercices de Théorie de calcul
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Théorie de calcul - travaux pratiques 6, Exercices de Théorie de calcul

PDF (35.8 KB)
2 pages
89Numéro de visites
Description
La théorie de calcul - travaux pratiques sur le tétraèdre régulier. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la symétrie orthogonale d’axe, la fonction numérique.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
AntillesCseptembre1986.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Antilles–Guyane septembre 1986 \

EXERCICE 1 4 points

Soit ABCD un tétraèdre régulier :

AB = BC = CD = DA = AC = BD.

1. Montrer que les droites (AC) et (BD) sont orthogonales.

2. Soit I le milieu de [AB] et P le plan passant par I, parallèle à (AC) et (BD).

a. Montrer que P coupe les autres arêtes du tétraèdre en J, K, L milieux res- pectifs de [BC], [CD], [DA].

b. Montrer que IJKL est un carré.

3. Soit G l’isobarycentre de A, B, C, D. Montrer que G est le centre du carré IJKL.

4. a. Soit ∆ la droite orthogonale au plan P passant par G.

Montrer que ∆ passe par M et N, milieux respectifs des arêtes [AC] et [BD].

b. Soit s la symétrie orthogonale d’axe∆. Montrer que s laisse ABCD globa- lement invariant.

EXERCICE 2 4 points

Le plan est rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Soit F le point de coordon-

nées (6 ; 0).

1. Soit (E ) l’ensemble des points M du plan vérifiant :

OM +FM = 10.

Déterminer la nature de l’ensemble (E ), son centre, ses sommets, son excen- tricité.

2. Soit (H) l’hyperbole d’excentricité p 2, de foyer O, et de directrice associée la

droite d’équation x = 3

2 dans le repère

(

O, −→ ı ,

−→

)

.

Déterminer une équation cartésienne de (H) dans ce repère, ainsi que son sentre, ses sommets, ses foyers et ses asymptotes.

3. Tracer (E ) et (H) dans lemême repère.Montrer géométriquement que les tan- gentes aux points d’intersection de (E ) et (H) sont orthogonales.

PROBLÈME 12 points

Partie A

Soit f la fonction numérique définie par : 

f (x) = lnx

lnx+ x−1 si x > 0

f (0) = 1

1. a. Montrer que f est continue en x = 0.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. f est-elle dérivable en x = 0 ?

c. Déterminer lim x→+∞

f (x).

2. a. Soit d la fonction numérique définie sur R par :

d(x)= lnx+ x−1

Étudier les variations de d sur R.

Montrer que l’équation d(x)= 0 possède une solution unique sur R que l’on précisera.

b. Montrer que f peut-être prolongée par continuité en x = 1. on note g le prolongement obtenu.

3. Déterminer lim h→0

g (1+h)− 1

2 h

. Onpourra utiliser le développement limité à l’ordre

2 de ln(1+h) au voisinage de h = 0 :

ln(1+h)= hh2

2 +h2ǫ(h) avec lim

h→0 ǫ(h)= 0.

En déduire que g est dérivable en 1 et préciser g ′(1).

4. a. Montrer que g est dérivable sur R− {1}. Calculer g ′(x) pour x ∈R− {1}.

b. Soit n la fonction numérique définie par :

n(x)= x−1− x lnx.

Étudier les variations de n sur R et en déduire le signe de g ′(x) sur R−{1}.

5. Donner le tableau de variation de la fonction g et tracer sa courbe représen- tative dans un repère orthonormé.

Partie B

SoitG la fonction numérique définie sur R+ par :

G(x)= ∫x

1 g (t)dt .

1. a. Montrer que pour tout t > 1 : 1< ln t + t < 2t .

b. Montrer que pour tout t > 1 : g (t)> ln t

2t .

c. En déduire que pour tout x > 1 : G(x)> 1

2

x

1

ln t

t dt puis que :

lim x→+∞

G(x)=+∞.

2. a. Montrer que pour tout t > e : ln t

ln t + t −1 6

ln t

t .

b. En déduire que pour tout x > e :

G(x)6 ∫e

1 g (t)dt +

x

e

ln t

t dt .

puis que :

lim x→+∞

G(x)

x = 0.

3. Montrer que G est dérivable sur R+. Préciser G ′(x) pour x ∈ R+. Dresser le ta- bleau de variations deG.

4. En faisant un partage de [0 ; 1] en deux intervalles demême amplitude, donner l’encadrement deG(0) obtenu par la méthode des rectangles.

5. Tracer l’allure de la courbe représentative deG dans un repère orthonormé.

Antilles–Guyane 2 septembre 1986

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome