Théorie de calcul - travaux pratiques 6, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Théorie de calcul - travaux pratiques 6, Exercices de Théorie de calcul

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La théorie de calcul - travaux pratiques sur le tétraèdre régulier. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la symétrie orthogonale d’axe, la fonction numérique.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Antilles–Guyane septembre 1986 \

EXERCICE 1 4 points

Soit ABCD un tétraèdre régulier :

AB = BC = CD = DA = AC = BD.

1. Montrer que les droites (AC) et (BD) sont orthogonales.

2. Soit I le milieu de [AB] et P le plan passant par I, parallèle à (AC) et (BD).

a. Montrer que P coupe les autres arêtes du tétraèdre en J, K, L milieux res- pectifs de [BC], [CD], [DA].

b. Montrer que IJKL est un carré.

3. Soit G l’isobarycentre de A, B, C, D. Montrer que G est le centre du carré IJKL.

4. a. Soit ∆ la droite orthogonale au plan P passant par G.

Montrer que ∆ passe par M et N, milieux respectifs des arêtes [AC] et [BD].

b. Soit s la symétrie orthogonale d’axe∆. Montrer que s laisse ABCD globa- lement invariant.

EXERCICE 2 4 points

Le plan est rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Soit F le point de coordon-

nées (6 ; 0).

1. Soit (E ) l’ensemble des points M du plan vérifiant :

OM +FM = 10.

Déterminer la nature de l’ensemble (E ), son centre, ses sommets, son excen- tricité.

2. Soit (H) l’hyperbole d’excentricité p 2, de foyer O, et de directrice associée la

droite d’équation x = 3

2 dans le repère

(

O, −→ ı ,

−→

)

.

Déterminer une équation cartésienne de (H) dans ce repère, ainsi que son sentre, ses sommets, ses foyers et ses asymptotes.

3. Tracer (E ) et (H) dans lemême repère.Montrer géométriquement que les tan- gentes aux points d’intersection de (E ) et (H) sont orthogonales.

PROBLÈME 12 points

Partie A

Soit f la fonction numérique définie par : 

f (x) = lnx

lnx+ x−1 si x > 0

f (0) = 1

1. a. Montrer que f est continue en x = 0.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. f est-elle dérivable en x = 0 ?

c. Déterminer lim x→+∞

f (x).

2. a. Soit d la fonction numérique définie sur R par :

d(x)= lnx+ x−1

Étudier les variations de d sur R.

Montrer que l’équation d(x)= 0 possède une solution unique sur R que l’on précisera.

b. Montrer que f peut-être prolongée par continuité en x = 1. on note g le prolongement obtenu.

3. Déterminer lim h→0

g (1+h)− 1

2 h

. Onpourra utiliser le développement limité à l’ordre

2 de ln(1+h) au voisinage de h = 0 :

ln(1+h)= hh2

2 +h2ǫ(h) avec lim

h→0 ǫ(h)= 0.

En déduire que g est dérivable en 1 et préciser g ′(1).

4. a. Montrer que g est dérivable sur R− {1}. Calculer g ′(x) pour x ∈R− {1}.

b. Soit n la fonction numérique définie par :

n(x)= x−1− x lnx.

Étudier les variations de n sur R et en déduire le signe de g ′(x) sur R−{1}.

5. Donner le tableau de variation de la fonction g et tracer sa courbe représen- tative dans un repère orthonormé.

Partie B

SoitG la fonction numérique définie sur R+ par :

G(x)= ∫x

1 g (t)dt .

1. a. Montrer que pour tout t > 1 : 1< ln t + t < 2t .

b. Montrer que pour tout t > 1 : g (t)> ln t

2t .

c. En déduire que pour tout x > 1 : G(x)> 1

2

x

1

ln t

t dt puis que :

lim x→+∞

G(x)=+∞.

2. a. Montrer que pour tout t > e : ln t

ln t + t −1 6

ln t

t .

b. En déduire que pour tout x > e :

G(x)6 ∫e

1 g (t)dt +

x

e

ln t

t dt .

puis que :

lim x→+∞

G(x)

x = 0.

3. Montrer que G est dérivable sur R+. Préciser G ′(x) pour x ∈ R+. Dresser le ta- bleau de variations deG.

4. En faisant un partage de [0 ; 1] en deux intervalles demême amplitude, donner l’encadrement deG(0) obtenu par la méthode des rectangles.

5. Tracer l’allure de la courbe représentative deG dans un repère orthonormé.

Antilles–Guyane 2 septembre 1986

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