Théorie de calcul - travaux pratiques 7, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Théorie de calcul - travaux pratiques 7, Exercices de Théorie de calcul

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La théorie de calcul - travaux pratiques sur les variations. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer le solution de l’équation différentielle, Factoriser dans R, le polynôme.
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[ Baccalauréat C groupe 1 1 juin 1986 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. Déterminer le solution de l’équation différentielle :

y ′′+2y ′+ y = 0

vérifiant : y(0)= 0 et y ′(0)= 1. Étudier les variations de cette fonction, et en tracer la courbe représentative (sur papier ordinaire) dans un repère orthonormé duplan (unité de longueur : 2 cm).

2. Pour n entier naturel, on pose :

x ∈R, f nn (x)= xe−2 nx .

Comparer fn+1(x) et fn (2x).

On désigne par Cn la courbe représentative de fn (dans le même repère). Par quelle transformation simple passe-t-on de Cn à Cn+1 ?

3. Calculer : A0 = ∫1

0 f0(x)dx.

On pose plus généralement : An = ∫1

0 fn (x)dx.

Comparer An et An+1.

Quelle est la nature de la suite (An)n∈N ?

EXERCICE 2 4 POINTS

On considère dans le planP un triangle ABCnon aplati. B′ désigne lemilieu de [AC], C′ celui de [AB] et D le barycentre du système {(A, 3) ; (B, 2)}. Soit I le barycentre du système {(A, 2)(B, 2)(A, 1)(C, 1)}.

1. Montrer que I est le barycentre du système { (B′, 1) (C′, 2)

} et également du

système {(D, 5) (C, 1)}.

En déduire que I est le point d’intersection des droites (B′C′) et (CD).

2. La droite (AI) coupe le droite (BC) en E. Déterminer la position de E sur (BC). (On pourra utiliser le fait que I est le barycentre de {(B′, 1)(C′, 2)}.

3. B et C restent fixes. Le point A se déplace dans le plan P, le segment [AE] conservant une longueur constante. Déterminer les lieux géométriques des points I et D. (On utilisera des homothéties.)

PROBLÈME 4 POINTS

I. Partie préliminaire

Factoriser dans R, le polynôme 2x2 − x p 2− 1, et étudier, sur l’intervalle [0 ; π], le

signe de l’expression :

f (θ)= 2cos2θ− p 2cosθ−1 ;

on introduira dans cette étude l’unique réel θ0 ∈]0 ; π[ tel que : cosθ0 = p 2−

p 0

4 .

1. Besançon - Dijon - Grenoble - Lyon - Metz - Nancy - Reims - Strasbourg

Le baccalauréat de 1986 A. P. M. E. P.

(Pour la suite du problème, on considèrera que θ0 radians correspondent approxi- mativement à 116 degrés).

II. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( O,

−→ ı ,

−→

) , l’unité de lon-

gueur est le centimètre ; on considère le point d’affixe −4 et le cercle C de centre A et de rayon 4

p 2.

Objet du problème : à tout réel θ on associe le point P(θ) ∈ C tel que θ soit une

mesure en radians de l’angle

( á−→ ı ,

−−−−→ AP(θ)

) . Soit T(θ) la tangente à C au point P(θ) ; on

appelle M(θ) le projeté orthogonal de O sur T(θ). On se propose d’étudier le lieu L des points M(θ) lorsque θ décrit R.

1. a. Représenter graphiquement sur papier millimétré, avec le plus grand soin, les points P(θ) et M(θ) obtenus pour

θ ∈ { 0, π,

π

2 , π

4 , 3π

4 , 5π

6 , θ0

} .

On disposera ainsi des premiers éléments d’une figure destinée, sous le nom de « figure 1 » à être complétée aux questions II 2. c., II 2. d. et II 3.

b. Démontrer que la droite (OA) est un axe de symétrie de L .

c. θ étant quelconque, onnote −→ u (θ) le vecteur unitaire tel que :

(−→ ı ,

−→ u (θ)

) =

θ, et H(θ) le projeté orthogonal de O sur la droite (AP(θ)).

Représenter O, A, C , P(θ), T(θ), M(θ), −→ u (θ), H(θ) sur une nouvelle figure

(figure 2) devant être complétée à la question II 4. b.

Exprimer les vecteurs −−−−→ AP(θ) et

−−−−→ AH(θ) aumoyen du vecteur

−→ u (θ) ; en dé-

duire que les coordonnées (x(θ), y(θ)) du point M(θ) sont données par :

{ x(θ)= 4(

p 2−cosθ)cosθ

y(θ)= 4( p 2−cosθ)sinθ.

d. Démontrer que l’affixem(θ) du point M(θ) est donné par :

m(θ)= 4 p 2eiθ −2e2iθ−2 (i ∈C, i2 =−1).

e. Demême, démontrer que l’affixe h(θ) du point H(θ) est donnée par :

h(θ)=−2+2e2iθ.

2. Construction de L :

a. Expliquer pourquoi on peut, dans un premier temps, se limiter au cas où : θ ∈ [0 ; π].

b. Étudier les variations, sur [0 ; π] des fonctions θx(θ) et θy(θ). (On établira en particulier que : y ′(θ) = −4 f (θ), avec les notations de la partie I.)

c. Représenter sur la figure 1 les tangentes à L aux points M(0), M (π 4

) ,

M(θ0), M(π), M (π 2

) .

(On rappelle que la tangente à L au point M(θ) est dirigée par le vecteur

de coordonnées ( x′(θ), y ′(θ)

) , noté

−−→ dM

dθ (θ), si ce vecteur est non nul.)

d. Achever le tracé de L , en se conformant aux résultats précédents.

Besançon - Dijon - Grenoble - Lyon - Metz - Nancy - Reims - Strasbourg

2 juin 1986

Le baccalauréat de 1986 A. P. M. E. P.

3. Construction de la tangente en un point quelconque de L . Démontrer que

l’affixe du vecteur

−−→ dM

dθ (θ) s’obtient en multipliant par i l’affixe du vecteur

−−−−−−−−→ H(θ)M(θ) .

Interpréter géométriquement, et en déduire une construction pratique de la tangente àL en n’importe quel point ; illustrer ce résultat (sur la figure 1) dans

le cas particulier où θ = 3π

4 .

4. a. Pour tout θ ∈R, calculer l’affixem(θ+π) du point M(θ+π), et démontrer que l’affixe du milieu K(θ) du segment [M(θ)M(θ+π)] est donnée par : (θ)=−2

( 1+e2iθ

) .

b. Démontrer que le lieu du point L(θ), lorsque θ décrit R, est le cercle Γ de diamètre [OA]. Illustrer ce résultat, sur la figure 2.

c. Démontrer que H(θ) est le point de Γ diamétralement opposé à L(θ).

Besançon - Dijon - Grenoble - Lyon - Metz - Nancy - Reims - Strasbourg

3 juin 1986

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