Théorie de calcul - travaux pratiques 8, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Théorie de calcul - travaux pratiques 8, Exercices de Théorie de calcul

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La théorie de calcul - travaux pratiques sur l’application de C dans C. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Prouver les égalités, Déterminer et reconnaître tous les éléments de W.
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[ Baccalauréat C groupe 2 1 juin 1986 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Le plan P est rapporté au repère orthonormé direct (

O ; −→ e1 ,

−→ e2

)

.

On désigne par F l’application de C dans C définie par

F (z)= z3

2+|z|3 .

et par ϕ l’application de P dans P qui associe à tout point M d’affixe z, le point M

d’affixe F (z).

1. Soit z = reiα où le couple (r ; α) appartient à R+×R.

Trouver un couple (

r ′ ; α′ )

appartenant à R+×R tel que F (z)= r ′eiα

.

2. On note f l’application de [0 ; +∞[ dans R définie par

f (x)= x3

2+ x3 .

Démontrer que f applique bijectivement [0 ; +∞[ sur [0 ; 1[.

3. On considère la cercle Γ de centre O et de rayon 1 et T le point d’affixe 1− i.

Trouver l’image par ϕ du cercle Γ et de la demi-droite [OT).

Quelle est l’image par ϕ de P ?

EXERCICE 2 5 POINTS

On considère un carré (A, B, C, D) situé dans un plan P de l’espace. O désigne le centre de ce carré, H un point distinct de O de la droite ∆ perpendiculaire en O au plan P, et H′ son symétrique par rapport à O. On note E l’ensemble {A, B, D} et F l’ensemble {B, C, D}. L’objet de cet exercice est de décrire l’ensemble W des isométries qui appliquent E sur F.

1. Démontrer que l’ensembleW n’est pas vide.

2. Soit f un élément deW . Prouver les égalités :

f (A) = C

f ({B, D})= {B, D}

f (O) = O

f (H) = H ou f (H) = H′.

3. Déterminer et reconnaître tous les éléments deW .

PROBLÈME 10 POINTS

Les parties A et B sont indépendantes Dans tout le problème ln x désigne le logarithme népérien de x.

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité : 2 cm).

Partie A

On désigne par f l’application de ]0;+∞[ dans R définie par

f (x)= x2− 1

x2 −4lnx.

1. Bordeaux Caen Clermont Ferrand- Limoges - Nantes - Orléans - Tours - Poitiers - Rennes

Le baccalauréat de 1986 A. P. M. E. P.

1. Étudier la limite de f en 0 et +∞.

Dresser le tableau de variations de f .

Dessiner la courbe F représentant f dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

2. Soit n un entier naturel non nul.

Pour tout entier naturel i compris entre 1 et n, on note Ai le point de F d’abs- cisse 10i .

SoitGn le barycentre des n points A1, . . . , An .

Calculer en fonction de n les coordonnées xn et yn deGn .

3. a. Vérifier que l’application ln admet pour primitive sur ]0;+∞[ l’applica- tion qui à x associe x lnxx.

b. Calculer l’aire en cm2 de la partie du plan comprise entre les droites d’équations : x = 1, x = e, y = 0 et la courbe F .

Partie B

On désigne par P⋆ l’ensemble des points de P d’abscisse non nulle et par θ l’appli- cation de P⋆ dans P⋆ qui associe à tout point M de coordonnées x et y le point M

de coordonnées x′ et y ′ vérifiant

{

x′ = 1

x y ′ = −y.

1. Vérifier que θ est bijective et égale à sa bijection réciproque.

2. On désigne par E le sous-ensemble de P⋆ d’équation xy =−9.

Trouver l’ensemble θ(E).

Est-ce que θ conserve l’alignement ?

3. Pour tout nombre réel a, on note ga l’application de ]0;+∞[ dans R définie par

ga(x)= x 2 −

1

x2 +4a lnx

etGa sa courbe représentative dans (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Montrer l’égalité θ (Ga)=Ga .

Bordeaux Caen Clermont Ferrand- Limoges - Nantes - Orléans - Tours - Poitiers - Rennes

2 juin 1986

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