TP géométrie algorithmique 1, Exercices de Géométrie Algorithmique. Université Bordeaux I
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

TP géométrie algorithmique 1, Exercices de Géométrie Algorithmique. Université Bordeaux I

PDF (35.0 KB)
3 pages
87Numéro de visites
Description
TP de géométrie algorithmique 1 - les suites définies. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction numérique définie, la courbe représentative de f.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
AlgerieCseptembre1992.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Étranger groupe 2 1 \ septembre 1992

EXERCICE 1 4 points

Soit (un ) et (vn) les suites définies pour tout entier naturel n par :

u0 = 9, un+1 = 1

2 un −3 et vn = un +6.

1. a. Montrer que (vn) est une suite géométrique à termes positifs.

b. Calculer la somme Sn = n

k=0 vk en fonction de n et en déduire la somme

S n = n

k=0 uk en fonction de n.

Déterminer lim n→+∞

Sn et lim n→+∞

S n .

2. On définit la suite (wn) par wn = lnvn pour tout entier n.

Montrer que (wn) est une suite arithmétique.

Calculer S ′′n = n

k=0 wk en fonction de n et déterminer lim

n→+∞ S ′′n .

3. Calculer le produit Pn = v0 · v1 · · · ·vn en fonction de n.

En déduire lim n→+∞

Pn .

EXERCICE 2 4 points

Dans un plan euclidien orienté, on considère quatre points A, B, C, D ne formant pas un trapèze. Les droites (AD) et (BC) se coupent en I. les droites (AB) et (DC) se coupent en J.

1. Soit O le centre de la similitude plane directe S telle que S(A) = B et S(D) = C.

a. Démontrer que (

−−→ OA ,

−−→ OD

)

= ( −−→ OB ,

−−→ OC )+2, k ∈N.

b. Demontrer que OC

OB =

OD

OA .

En déduire que O est le centre de la similitude directe S ′ telle que S ′(A) = D et S ′(B) = C.

2. En utilisant les similitudes S et S ′, démontrer que les cercles circonscrits aux quatre triangles IAB, IDC, JAD et JBC ont le point O en commun.

PROBLÈME 12 points

Partie 1

On désigne par g la fonction numérique définie sur [0 ; π] par

g (x)= x cosx − sinx.

Étudier g et dresser son tableau de variation. En déduire le signe de g (x) sur [0 ; π].

1. Algérie, Djibouti, Gabon, Mali, Maroc, Sénégal

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Partie 2

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur [0 ; π] par :

{

f (0) = 1

f (x) = sinx

x si x ∈]0 ; π]

1. Démontrer que f est continue sur [0 ; π].

2. Étudier les variations de f sur ]0 ; π].

Tracer la courbe représentative de f sur [0 ; π] dans le plan rapporté à un repère orthonormé.

(On admettra que le nombre dérivé de f en zéro est zéro.)

3. En déduire que pour x de [

0 ; π

2

]

on a 2

π

6 f (x)6 1.

Partie 3

On se propose d’étudier la fonction définie sur [0 ; π] par :

F (x)= ∫

π

x f (t)dt .

(On ne cherchera pas à calculer une primitive de f .)

1. Justifier l’existence de ∫

π

0 f (t)dt .

2. a. En utilisant la question II. 3., démontrer que pour 0< x 6π, on a :

2

π

2x

π 2 6

π

2

x 2

(

sin t

t

)

2dt .

b. Calculer la valeur en π des fonctions définies sur ]0 ; π] respectivement par :

x 7−→

π

2

x 2

(

sin t

t

)2

dt et x 7−→ ∫

π

x

2

u2 sin2

u

2 du,

puis calculer leur fonction dérivée.

En déduire l’égalité des deux fonctions.

c. Déduire de 2. a. et b. que :

2

π

2x

π 2 6

π

x

2

u2 sin2

u

2 du 6

π

2 .

3. a. En prenant t 7−→ 1−cos t comme primitive de t 7−→ sin t et en intégrant par parties, démontrer que pour tout x de ]0 ; π] :

π

x

sin t

t dt =

2

π

+

cosx −1

x +

π

x

1−cos t

t2 dt .

b. Calculer la limite de cosx −1

x lorsque x tend vers 0.

c. Démontrer que :

π

x

1−cos t

t2 dt =

π

x

2

t2 sin2

t

2 dt .

d. En déduire que :

4

π

2x

π 2 +

cosx −1

x 6

π

x

sin t

t dt 6

π

2 +

2

π

+

cosx −1

x .

Étranger groupe 2 2 septembre 1992

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

e. En déduire que :

4

π

6

π

0 f (t)dt 6

2

π

+

π

2 .

4. a. Dresser le tableau de variations de F sur [0 ; π].

b. Donner l’allure de la courbe représentative de la fonction F dans un plan rapporté à un repère orthonormé.

Étranger groupe 2 3 septembre 1992

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document