TP géométrie algorithmique 10, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

TP géométrie algorithmique 10, Exercices de Géométrie Algorithmique

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TP de géométrie algorithmique 10 - la rotation de centre A. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Écrire une équation de (P) et dessiner (P). Étudier le sens de variation de g .
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Métropole groupe 3 1 juin 1992 \

EXERCICE 1 5 points

Dans le plan orienté, ABC désigne un triangle rectangle isocèle en A, avec (−−→ AB ,

−−→ AC

)

= π

2 .

Le point I est le point de concours des bissectrices intérieures du triangle ABC. On

désigne par : rA la rotation de centre A et d’angle π

2 ,

rC la rotation de centre C et d’angle π

4

1. a. Construire le point A′, image de A par rC.

b. Donner la nature et les éléments caractéristiques de l’application com- posée rC ◦ rA (on pourra écrire chaque rotation comme composée de ré- flexions convenablement choisies).

c. Montrer que IA′ = IA et que les droites (IA′) et (AB) sont parallèles.

2. La droite (CI) coupe (AB) en E ; les droites (A′E) et (BI) se coupent en K.

On désigne par hC l’homothétie de centre C et de rapport 1 p 2 ,

par hK l’homothétie de centre K et de rapport − p 2.

a. Déterminer hC(B) et hC(E).

En déduire que −→ BE =−

p 2 −→ IA′ .

b. Quelle est l’image de B par hK ◦hC ?

c. Reconnaître l’application hK ◦hC et en déduire que les points C et K sont alignés avec le milieu M du segment [BE].

EXERCICE 2 4 points

Le plan est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

. L’unité graphique est

de 2 cm. On considère la parabole (P) de foyer O et de directrice la droite (D) d’équation x = 1.

1. Écrire une équation de (P) et dessiner (P).

2. Soit M un point de (P), H le projeté orthogonal de M sur (D), I le milieu du segment [OH], A le point d’affixe 1 et B le point d’affixe 2.

Montrer que (−−→ MI ,

−−→ MH

)

= (−−→ HO ,

−−→ HA

)

+, avec k ∈Z.

En déduire que (−−→ MO ,

−−→ MH

)

= (−−→ HO ,

−−→ HB

)

+, avec k ∈Z.

3. On choisit θ ∈ [0 ; 2π[, tel que (−−→ MO ,

−−→ MH

)

= θ+2, avec k ∈Z.

On désigne par z et h les affixes respectives deM et H.

Montrer que zh

z =

h−2

h = eiθ , et que θ est différent de zéro.

En déduire que z = 2

(

1−eiθ )2 .

1. Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

PROBLÈME 11 points

Soit f la fonction numérique définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : 

f (x) = lnx

x− lnx si x > 0,

f (0) = −1

(ln désigne le logarithme népérien).

On note (C ) sa représentation graphique dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

.

L’unité graphique est de 2 cm.

Partie A Étude d’une fonction auxiliaire (pour la partie C)

Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

g (x)= x− lnx−1.

1. Étudier le sens de variation de g .

2. En déduire que g (x)> 0, pour tout x de l’intervalle ]0 ; +∞[.

Partie B Étude de f

1. Montrer que la fonction f est continue en 0.

Montrer que f est dérivable en 0 : on précisera la valeur de sa dérivée en 0.

2. Calculer lim x→+∞

f (x).

3. Étudier le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de varia- tions.

4. Tracer la courbe (C ).

Partie C Étude d’une primitive de f

On pose, pour tout x> 0 :

F (x)= ∫x

1 f (t)dt .

On ne cherchera pas à calculer F (x).

1. Étudier le sens de variation de la fonction F , sur l’intervalle [0 ; +∞[.

2. Montrer, en introduisant la fonction g de la partie A, que, pour tout t de de l’intervalle ]0 ; 1], on a :

−16 f (t)6 t −1.

Vérifier que cette double inégalité est encore vraie pour t = 0.

En déduire que 1

2 6 F (0)6 1.

3. a. Prouver que pour tout t > 1, on a :

ln t

t 6 f (t).

b. Calculer ∫x

1

ln t

t dt .

En déduire lim x→+∞

F (x).

Métropole groupe 3 2 juin 1992

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

4. On note (un ) la suite définie pour n> 1 par :

un = ∫n+1

n f (t)dt .

a. Montrer que, pour tout n> 3, on a :

f (n+1)6 un 6 f (n).

(on pourra utiliser le sens de variation de f ).

b. Montrer que la suite (un ) converge vers zéro.

5. On pose, pour tout entier naturel n> 2 :

Sn = p=n−1 ∑

p=1 up =u1+u2+u3+·· ·+un−1.

a. Exprimer Sn à l’aide de F .

b. En déduire que lim n→+∞

Sn =+∞.

Métropole groupe 3 3 juin 1992

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