TP géométrie algorithmique 12, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

TP géométrie algorithmique 12, Exercices de Géométrie Algorithmique

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TP de géométrie algorithmique 12 - les suites. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la limite de la suite u, la rotation r de centre A.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Métropole remplacement \ septembre 1992

EXERCICE 1 4 points

Soit f la fonction définie pour x > 1

2 par :

f (x)= x2

2x−1 .

1. Démontrer que, pour tout x > 1, f (x)> 1.

On peut donc définir la suite u = (un ) par :

{

u0 = 2

un+1 = f (un ) , pour tout entier natureln

On se propose, dans la suite de l’exercice, d’exprimer un en fonction de n.

2. On considère les suites v = (vn) etw = (wn) telles que, pour tout entier naturel n,

vn = un −1

un et wn = ln(vn) .

(ln désigne le logarithme népérien).

a. Vérifier que vn et wn sont définies pour tout entier naturel n.

b. Démontrer que la suite w est une suite géométrique.

c. Exprimer, pour tout entier naturel n, wn puis vn en fonction de n et en déduire que :

un = 1

1− (

1 2

)n .

En déduire la limite de la suite u.

EXERCICE 2 5 points

On donne, dans le plan orienté, un triangle isocèle OAO′ avec (

−−→ AO ,

−−→ AO′

)

= π

2 .

Les cercles C et C ′ passant par A et de centres respectifs O et O′ se recoupent en B.

On note I le centre du carré AOBO′.

On présentera les données sur une figure que l’on complètera progressivement.

1. D et D′ étant les points diamétralement opposés à A sur les cerclesC etC ′ res- pectivement, démontrer, à l’aide d’une homothétie de centre A, que les points

D, B et D′ sont alignés.

2. Soit M un point du cercle C (M 6= A, M 6= B) et M′ l’intersection de la droite (MB) avec le cercleC ′,

a. Vérifier que M′ est distinct de A, puis démontrer que :

(

−−→ AM ,

−−−→ AM′

)

=

(

−−→ AD ,

−−→ AD′

)

+, aveck ∈Z.

b. En déduire que la rotation r de centre A qui transforme O en O’ trans- forme la droite (AM) en la droite (AM′).

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

c. Prouver que r transforme M enM′.

3. Soit N le point d’intersection de la droite (M′A) avec le cercleC . Soit N′ le point d’intersection de la droite (MA) avec le cercleC ′. Démontrer queN′ est l’image

de N par la rotation r .

4. On suppose que M est distinct de D.

a. Prouver que N est distinct de A. On construit alors le carré NAN′F.

b. Montrer que les points B et F sont les images respectives des points O et N par une similitude directe s dont on précisera le centre, le rapport et

l’angle.

c. Construire l’image du cercleC par s.

PROBLÈME 11 points

Dans la première partie du problème on étudie une fonction f , dont on appelle C la

courbe représentative dans un repère orthonormal.

Dans les deuxième et troisième parties on construit l’image de C par des transforma-

tions du plan.

La dernière partie a pour objet l’étude de l’effet de ces transformations sur les aires.

Partie A

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

. Soit f la fonction définie

sur [0 ; +∞[ par :

{

f (x) = 2x(1− lnx), pour x > 0,

f (0) = 0.

(ln désigne le logarithme népérien.)

1. a. Calculer la dérivée f ′, de f sur [0 ; +∞[. En déduire les variations de !

b. Déterminer la limite de f quand x tend vers +∞.

c. Montrer que la fonction f est continue en zéro. La fonction f est-elle dérivable en zéro ?

d. Dresser le tableau de variations de la fonction f .

2. On note C la courbe représentative de la fonction f

a. On note N le point de C d’abscisse 1, R le point d’intersection de C et de l’axe des abscisses, Q le point deC où la tangente est parallèle à la droite

d’équation y = 2x.

Calculer les coordonnées des points N, R, Q et donner les coefficients

directeurs des tangentes àC , en chacun de ces points.

b. En adoptant 4 cm pour l’unité et en plaçant l’axe des ordonnées à 6 cm du bord gauche de la feuille, construireC , ainsi que les tangentes à C en

N, R et Q.

Partie B

1. Soit T1 l’application de P dans P qui au point M(x ; y) d’affixe z, z = x + iy , associe le point M1 d’affixe z1 = z, où z désigne le conjugué de z.

a. Quelle est la nature géométrique de T1 ?

b. On appelle C1 l’image de C par T1. Représenter C1 sur le même dessin que C .

Métropole remplacement 2 septembre 1992

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Soit T2 l’application de P dans P qui au point M d’affixe z associe le point M2

d’affixe z2 =− 1

e2 z.

a. Montrer que T2 est la composée de T1 et d’une homothétie que l’on pré- cisera.

b. Déterminer les coordonnées N2 et R2 images de N et R par T2. Placer N2 et R2 sur la figure.

c. Calculer en fonction de x et y , les coordonnées (

x2 ; y2 )

du point M2 image deM par T2 puis exprimer x et y en fonction de x2 et y2.

d. Soit C2 = T2(C

Montrer que C2 est la courbe représentative de la fonction f2 définie sur

]−∞ ; 0[ par :

{

f2(x) = 2x[1+ ln(−x)], si x < 0,

f2(0) = 0.

e. Représenter la courbeC2 sur le même dessin queC .

Partie C

1. Soit a un nombre de l’intervalle ]0 ; e[.

Calculer à l’aide d’une intégration par parties l’intégrale

I =

∫e

a x lnx dx

.

2. En déduire la valeur de A = ∫e

a f (x)dx. Que représente A ?

3. Montrer que A admet pour limite e2

2 quand a tend vers zéro. On admettra que

cette limite représente l’aire du domaine limité parC , l’axe des abscisses et les

droites d’équations x = 0 et x = e.

4. Déduire des questions précédentes l’aire en cm2 du domaine limité par C1 et l’axe des abscisses, puis celle du domaine limité par C2 et l’axe des abscisses.

Donner une valeur approchée au cm2 près de chacune de ces aires.

Métropole remplacement 3 septembre 1992

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