TP géométrie algorithmique 13, Exercices de Géométrie Algorithmique
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Eusebe_S10 April 2014

TP géométrie algorithmique 13, Exercices de Géométrie Algorithmique

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TP de géométrie algorithmique 13 - les aires des triangles ABD et AEF. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Démontrer l’égalité, Déterminer et représenter dans le plan P, Enseignement de spécialité.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Nouvelle-Calédonie décembre 1992 \

EXERCICE 1 4 points

On donne, dans le plan, un quadrilatère convexe ABCD. Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en E.

Soit F le point tel que : −−→ DF =

−→ BE .

1. Comparer les distances BD et EF, puis les aires des triangles ABD et AEF.

2. Montrer que le quadrilatère ABCD et le triangle AFC ont même aire.

3. Démontrer l’égalité : −−→ AC ∧−→AF =−−→AC ∧−−→BD .

En déduire l’aire du quadrilatère ABCD à l’aide d’une expression faisant inter-

venir les vecteurs −−→ AC et

−−→ BD .

EXERCICE 2 4 points Enseignement obligatoire

Leplan complexe P est rapporté au sepère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité graphique :

2 cm).

1. Déterminer et représenter dans le plan P, l’ensemble D des pointsM dont l’af- fixe z vérifie :

z− iz = 0.

2. Au point M d’affixe z = x + iy (x et y désignant des nombres réels distincts), on fait correspondre le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = f (z)= z+ z− i z− iz

.

a. Calculer le module de f (i).

Donner un argument de f (i). En déduire que [ f (i)]8 est un nombre réel positif>.

b. Déterminer les parties réelle et imaginaire du nombre complexe z véri- fiant f (z)= i.

3. a. Calculer les coordonnées du point M ′ en fonction de celles du point M .

b. Déterminer et représenter dans le plan P l’ensemble des points M tels que z ′ soit un imaginaire pur.

EXERCICE 2 4 points Enseignement de spécialité

Dans le plan, rapporté à un repère orthonormé direct (

A, −→ u ,

−→ v

)

, soit ABCD un pa-

rallélogramme tel que −−→ AB =−−→DC =−→u .

On note E le point d’affixe : 1+ 1 p 3 i.

Soit F l’image de C par la similitude directe f de centre B, de rapport 1

2 , et d’angle

π

3 .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

A B

CD

−→ u

−→ v

1. Vérifier que (−−→ AB ,

−→ AE

)

= π

6 et montrer que le triangle BCF est rectangle en F.

Faire une figure soignée.

2. On note t la translation de vecteur −→ u et g la similitude directe de centre E qui

transforme A en B.

Montrer que g = f t : on pourra, pour cela, soit utiliser les transformations vectorielles associées à g et f t , soit déterminer leurs expressions analytiques complexes.

3. Montrer que g transforme D en F.

En déduire la nature et les angles du triangle EDF.

PROBLÈME 12 points

Le but de ce problème est d’étudier certaines fonctions fk de la variable réelle x définies sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

fk (x)= xe−x +kx

k est un réel donné quelconque, et de construire leurs courbes représentatives Ck .

Partie A

1. Étude de fk

a. Déterminer selon les valeurs du réel k, lim x→+∞

fk .

Montrer que la droite Dk d’équation y = kx est asymptote en +∞ à la courbe Ck ?

Préciser la position de Ck par rapport àDk .

b. Calculer f k (x) et f ′′

k (x).

Donner selon les valeurs du réel k, lim x→+∞

f k (x).

Donner le sens de variations de fk .

2. Donner les tableaux de variations de f0 et f1.

3. Le plan est rapporté au repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

. Pour le dessin, on

choisit pour unité 5 cm.

a. Donner les coefficients directeurs des tangentes à l’origine T0 et T1 res- pectivement à C0 et C1.

b. Construire les tangentes T0 et T1 les asymptotes D0,D1 et les courbesC0 et C1.

4. Pour tout a de [0 ; +∞[, on pose F (a)= ∫a

0 f0 d(x).

a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer F (a).

b. Déterminer lim x→+∞

F (a).

Nouvelle-Calédonie 2 décembre 1992

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Partie B

Le but de cette partie est d’étudier la fonction fk obtenue pour k =− 1

2 , c’est-à-dire

la fonction f− 12 définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

f− 12 (x)= xe−x

1

2 x.

1. a. Calculer f− 12 (x). Montrer que l’équation

(1− x)e−x − 1

2 = 0

admet une solution unique dans l’intervalle [0 ; +∞[. On note α cette solution (que l’on ne demande pas de calculer).

b. Vérifier l’encadrement : 06α6 0,5.

2. Soit h la fonction définie sur l’intervalle I = [

0 ; 1

2

]

par

h(x)= 1− 1

2 ex .

a. Montrer que α est l’unique solution sur I de l’équation h(x)= x. b. Déduire des variations deh que pour tout élément x de I,h(x) appartient

encore à I.

c. Prouver que pour tout élément x de I on a

−0,836 h′(x)6 0.

En déduire l’inégalité

|h(x)−α|6 0,83|xα|.

3. Soit (un ) la suite d’éléments de I, définie par u0 = 0 et un+1 = h (un ) pour tout n deN.

a. Montrer que pour tout entier n, positif ou nul, on a

|un+1−α|6 0,83 |un α| .

b. En déduire que pour tout entier n, positif ou nul, on a

|un α|6 1

2 (0,83)n .

c. Déterminer la limite de la suite (un ).

d. Préciser un entier p tel que : ∣

up α

∣< 10−2. Calculer up à l’aide de votre calculatrice (on donnera la partie entière et les deux premières décimales).

4. Donner le tableau de variations de la fonction f− 12 .

Construire l’asymptote D− 12 , la tangente T− 12

, et la courbe C− 12 .

Nouvelle-Calédonie 3 décembre 1992

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