TP géométrie algorithmique 14, Exercices de Géométrie Algorithmique
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Eusebe_S10 April 2014

TP géométrie algorithmique 14, Exercices de Géométrie Algorithmique

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TP de géométrie algorithmique 14 - l'enseignement de spécialité. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étudier la fonction f, Déterminer le sens de variation de F.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Polynésie juin 1992 \

EXERCICE 1 4 points Enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

Soit C la courbe plane définie par la représentation paramétrique :

t 7−→ −−−−−→ OM(t) = x(t)

−→ u + y(t)

−→ v avec t ∈R+,

x(t)= e−t cos t et y(t)= e−t sin t .

On donne

cos t − sin t = p 2cos

(

t + π

4

)

.

1. Étudier les variations des fonctions t 7−→ x(t) et t 7−→ y(t) sur [0 ; π].

Montrer que C admet une tangente en chacun de ses points. Tracer la partie de C pour t appartenant à [0 ; π] (on prendra comme unité 10 cm sur chaque axe).

Préciser en particulier les tangentes àC pour t = 0, t = π

2 et t =π.

2. Montrer que M (

t + π

2

)

est l’image de M(t) par une similitude plane directe

de centre O que l’on précisera. (On pourra exprimer l’affixe z ′ deM (

t + π

2

)

en

fonction de l’affixe z deM(t).)

3. On admet que la longueur de l’arc exprimée en centimètres de la courbe C entre les points M(0) et M(t) est :

L(t)= 10 ∫t

0

[x′]2+ [

y ′ ]2 dt .

Calculer L(t). Donner une valeur approchée de L(π) à 10−2 près.

La longueur L(t) a-t-elle une limite quand t tend vers +∞ ?

EXERCICE 2 4 points

Le plan rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

. Soit E l’ensemble des points

M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient l’équation :

21x2+31y2−10 p 3xy −576= 0.

1. Soit f la similitude de centre O, d’angle π

3 et de rapport

1

2 .

Soit M ′ l’image deM par f .

Caractériser f −1 et calculer les coordonnées x et y deM en fonction des coor- données x′ et y ′ de M ′.

2. Donner une équation de E ′ image de E par f et montrer que E ′ est une co- nique dont on précisera la nature, les sommets, l’excentricité, les foyers et les directrices.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. En déduire que E est une conique dont on précisera la nature, les sommets et l’excentricité.

Construire E et E ′ sur unmême dessin en prenant 1 cm pour unité sur chaque axe.

PROBLÈME 12 points

On désigne par f la fonction définie sur R par :

f (x)= e−x 2 .

On se propose d’étudier la fonction F définie sur R par :

F (x)= ∫x

0 e−t

2 dt .

Partie A

1. a. Étudier la fonction f

b. Tracer la courbeC représentative de f dansun repère orthonormal (unité 4 cm).

2. a. Justifier l’existence de F (x) pour tout x réel.

b. Montrer par des considérations d’aires relatives à C que F est une fonc- tion impaire.

c. Déterminer le sens de variation de F .

d. Vérifier que pour tout réel t on a :

t2 > 2t −1.

En déduire que pour tout réel x de R+ on a :

F (x)6 e

2 .

Onadmettra que toute fonction croissante etmajorée sur [0 ; +∞[ admet une limite finie en +∞.

On pose lim +∞

F = . Quel encadrement peut-on déjà donner de ?

Partie B

On se propose dans cette partie d’obtenir un encadrement de F (1).

1. k désigne un réel strictement positif. Soit la fonction ϕk définie sur [0 ; 1] par :

ϕk (x)= e −x

(

1− x+kx2 )

Calculer ϕk et ϕ′′

k .

2. a. Montrer à l’aide des variations deϕ′1 2 etϕ 1

2 queϕ 1

2 est négative sur [0 ; 1].

b. Étudier les variations de ϕ′1 e ;.

Montrer qu’il existe un réel unique α de [0 ; 1] tel que ϕ′1 e (α)= 0.

Montrer alors à l’aide de ses variations que ϕ 1 e est positive sur [0 ; 1].

c. En déduire que pour tout x de [0 ; 1] on a :

1− x2+ x4

e 6 e−x

2 6 1− x2+

x4

2 .

et donner un encadrement de F (1).

Polynésie 2 juin 1992

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Partie C

On se propose maintenant de donner une valeur approchée de .

1. On pose : λ(x) = ex − 9

10 (2x +1). 10 Déterminer le sens de variation de λ sur

[1 ; +∞[. En déduire le signe de λ sur [1 ; +∞[.

2. Prouver que pour tout réel x> 1 on a :

9

10 (2x+1)e−x

2−x 6 e−x

2 .

3. a. À l’aide de A 2. et C 2. déterminer un encadrement de f (t) sur [1 ; +∞[ puis un encadrement de F (xF (1) pour tout x de [1 ; +∞[.

b. En déduire une valeur approchée de à 5 ·10−2 près.

4. Donner l’allure de la courbe représentative de F dans un repère orthonormal (unité 4 cm sur chaque axe). On placera la tangente au point d’abscisse 0, les asymptotes et les points d’abscisses 1 et −1.

Polynésie 3 juin 1992

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