TP géométrie algorithmique 4, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

TP géométrie algorithmique 4, Exercices de Géométrie Algorithmique

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TP de géométrie algorithmique 4 - l’ensemble des nombres complexes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le polynôme de la variable complexe z, résoudre l’équation.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Antilles-Guyane juin 1992 \

EXERCICE 1 4 points

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation :

z2− (

1+ p 2 )

z+ p 2= 0.

2. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes les équations :

(1) z+ 1

z = 1

(2) z+ 1

z =

p 2

3. Soit P (z) le polynôme de la variable complexe z tel que :

P (z)= z4− (1+ p 2)z3+ (2+

p 2)z2− (1+

p 2)z+1.

a. Vérifier que pour tout z non nul, on a :

P (z)

z2 =

(

z+ 1

z

)2

− (

1+ p 2 )

(

z+ 1

z

)

+ p 2.

b. En utilisant ce qui précède, résoudre l’équation P (z)= 0.

EXERCICE 2 4 points

ABCD est un rectangle du plan, de diagonales [AC] et [BD] de longueur a.

1. Soitm un réel nonnul.OnnoteGm le barycentre du système : {(A, m) ; (B, −1) ; (C, 1)}. a. Préciser la position de G1.

b. Déterminer l’ensemble E1 des points Gm lorsquem décrit R.

2. Quel est l’ensemble E2 des points M du plan tels que :

−−→ MA −−−→MB +−−→MC

∥= a ?

3. Quel est l’ensemble E3 des points M du plan tels que

MA2−MB2+MC2 = a2

4 ?

4. Faire une figure où l’on représentera le rectangle ABCD et les ensembles E1, E2 et E3.

PROBLÈME 12 points

Partie A

Soit f la fonction numérique définie pour tout x de [0 ; +∞[ par :

f (x)= x ln(x)− x, pour x > 0 et f (0)= 0.

1. a. Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. Pour x strictement positif, calculer f ′ la fonction dérivée de f et déter- miner son signe.

Déterminer la limite de f en +∞ puis dresser le tableau de variations de f .

2. Soit (C ) la représentation graphiquede f dansun repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité : 1 cm), et soit (D) la droite d’équation : « y = x−1 ». Soit u la fonction numérique définie pour tout x de ]0 ; +∞[ par :

u(x)= x ln(x)−2x+1.

a. Calculer u′ la fonction dérivée de u et déterminer son signe. Calculer les limites de u en 0 et +∞. Dresser le tableau de variations de u.

b. Montrer que l’équation « u(x) = 0 » possède exactement deux solutions que l’on notera a et b, (a < b). En déduire que (D) et (C ) se coupent en deux points A et B d’abscisses respectives a et b.

c. Déterminer le signe de u(x).

d. Montrer que a appartient à ]0 ; 1[ et que b appartient à ]6 ; 7[.

3. Tracer dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

la courbe (C ) et la droite (D).

On se limitera à l’intervalle [0 ; 8].

4. Soit ∆ le domaine du plan limité par la courbe (C ), la droite (D) et les droites d’équations : « x = a » et « x = b » (a et b définis dans le A. 2. b.).

a. Montrer que S, l’aire en cm2 de ∆, s’exprime sous la forme :

b

a (2x−1− x ln x)dx.

b. En intégrant par parties, calculer ∫b

a x lnx dx en fonction de a et b.

En déduire l’expression de S en fonction de a et b.

Partie B

On se propose de déterminer une valeur approchée de b. Pour cela, on considère la fonction numérique h définie sur ]e ; +∞[ par :

h(x)= x−1

ln(x)−1 .

1. a. Montrer que, pour tout x élément de ]e ; +∞[, h′ désignant la fonction dérivée de h, on a :

h′(x)=− u(x)

x[ln(x)−1]2

u est la fonction définie dans la question A. 2.

En déduire le signe de h′ sur ]e ; +∞[. b. Déterminer les limites de h aux bornes de son ensemble de définition.

Vérifier que h(b)= b. Dresser le tableau de variations de h.

Antilles-Guyane 2 juin 1992

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Montrer que pour tout x de l’intervalle [6 ; 7], on a :

x(ln(x)−1)2 > 6(ln(6)−1)2.

En déduire que pour tout x de l’intervalle [6 ; 7], on a :

h′(x) ∣

∣6 u(7)

6(ln(6)−1)2 6 0,17.

3. a. Déterminer l’image de l’intervalle [b ; 7] par h et démontrer qu’elle est incluse dans l’intervalle [b ; 7].

b. Soit (Un) la suite numérique définie pour tout entier naturel n par :

U0 = 7 et Un+1 = h (Un) .

Montrer quepour tout entier natureln, Un appartient à l’intervalle [b ; 7].

c. Montrer, en utilisant l’inégalité des accroissements finis, que pour tout entier naturel n, on a :

|Un+1−b|6 0,17 |Unb| .

En déduire que pour tout entier naturel n, |Un b|6 0,17n . d. Montrer que la suite (Un) converge vers b.

Déterminer un entier n tel queUn soit une valeur approcheée de b à 10−4

près.

Calculer cette valeur approcheée.

Antilles-Guyane 3 juin 1992

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