TP géométrie algorithmique 5, Exercices de Géométrie Algorithmique
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Eusebe_S10 April 2014

TP géométrie algorithmique 5, Exercices de Géométrie Algorithmique

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TP de géométrie algorithmique 5 - le repère orthonormal. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer les limites, Étudier le sens de variation.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Antilles-Guyane septembre 1992 \

EXERCICE 1 4 points

On considère dans le plan un triangle ABC tel que : AB = 7, BC = 4 et AC = 5 (unité graphique = 1 cm). Soit I le milieu de [BC].

1. Montrer que AI= p 33.

2. a. Soit M un point du plan.

Pour quelle valeur du réelm le vecteurm −−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC est-il égal à un

vecteur −→ U indépendant du point M ?

Déterminer alors le vecteur −→ U en fonction du vecteur

−→ AI .

b. Déterminer et construire l’ensemble E des points M du plan tels que :

−2MA2+MB2+MC2 =−58.

3. Soit D le barycentre du système : {(A, −1);(B, 1);(C, 1)}.

a. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC? Justifier la réponse.

b. Déterminer et construire l’ensemble F des points M du plan tels que :

MA2+MB2+MC2 =−25.

EXERCICE 2 4 points

Une urne contient douze boules indiscernables au toucher :m boules blanches et n boules noires.

1. On tire successivement deux boules de l’urne, la boule tirée n’étant pas remise dans l’urne après le premier tirage.

Déterminer les couples (m, n), pour que la probabilité d’obtenir deux boules

de couleurs différentes soit égale à 16

33 .

2. On prend désormaism = 8 et n = 4.

On tire successivement 3 boules de l’urne, la boule tirée étant remise dans l’urne après chaque tirage.

a. Calculer la probabilité d’obtenir exactement une boule blanche.

b. Calculer la probabilité d’obtenir aumoins uneboule blanche et aumoins une boule noire.

(On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles).

PROBLÈME 12 points

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction fn définie sur ]−1 ; +∞[ par :

pourn = 0 : f0(x) = 1

p 1+ x3

pourn> 1 : fn (x) = x3n

p 1+ x3

On désignera par (Cn) la courbe représentative de fn dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

ayant comme unité graphique 4 cm.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Partie A

1. Déterminer les limites de f0 aux bornes de son ensemble de définition.

Étudier le sens de variation de f0 et construireC0 dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

2. Soit n un entier naturel non nul.

a. f n désignant la fonction dérivée de fn , montrer que :

f n (x)= x3n−1

[

(6n−3)x3+6n ]

2 (

1+ x3 )

(p 1+ x3

) .

b. Étudier le sens de variation de f1 et f2 puis dresser leur tableau de varia- tions.

c. Tracer C1 et C2 dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Partie B

Soit (In ) la suite réelle définie pour tout entier naturel par :

In = ∫1

0 fn (x)dx.

1. Montrer que pour tout entier naturel n, on a In > 0.

2. Montrer que pour tout entier naturel n non nul et pour tout x de l’intervalle [0 ; 1], on a : fn (x)6 x3n .

En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, on a : In 6 1

3n−1 .

3. Quelle est la limite de la suite (In ) ?

Partie C

1. On partage le segment [0 ; 1] en dix segments de même longueur 0,1, par les points :

a0 = 0 ; a1 = 0,1 ; a2 = 0,2 ; a3 = 0,3 ; . . . ; a10 = 1.

a. Montrer que l’on a, pour tout entier naturel i de 0 à 9 :

0,1 f0 (ai )> ∫ai+1

ai

f0(x)dx> 0,1 f0 (ai+1) .

b. En déduire que : 0,1 9

0 f0 (ai )> 0,1

9 ∑

0 f0 (ai+1) I0 > 0,1.

c. Montrer, à l’aide de la calculatrice, que : 0,93> I0 > 0,89.

2. a. En écrivant f1(x) sous la forme :

f1(x)= x x2

p 1+ x3

montrer en intégrant I1 par parties que : 5I1 = 2 p 2−2I0 .

On remarquera que, pour tout x appartenant à [0 ; 1] :

1+ x3 = 1+ x3 p 1+ x3

.

b. En déduire un encadrement de I1.

c. Montrer de même que, pour tout entier naturel n non nul, on a :

(6n+5)In+1 = 2 p 2− (6n+2)In .

Antilles-Guyane 2 septembre 1992

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