TP géométrie algorithmique 6, Exercices de Géométrie Algorithmique
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Eusebe_S10 April 2014

TP géométrie algorithmique 6, Exercices de Géométrie Algorithmique

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TP de géométrie algorithmique 6 - le sens de variation de g. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer les limites, Construire C et A.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Étranger 1 juin 1992 \

EXERCICE 1 4 points

I. La fonction numérique g est définie sur ]0 ; +∞[ par :

g (x)= 2x p

x −3lnx +6.

En utilisant le sens de variation de g , déterminer, suivant les valeurs de x, le signe de g (x).

II. La fonction numérique f est définie sur ]0 ; +∞[ par :

f (x)= 3lnx p

x + x −1.

1. Déterminer les limites de f en 0, en +∞. 2. Utiliser (1) pour déterminer le sens de variation de f .

3. a. Soit ∆ la droite d’équation y = x −1 et C la représentation graphique de f dans un repère orthonormal du plan.

Montrer que ∆ est asymptote à C et étudier la position relative deC et ∆.

b. Construire C et ∆.

EXERCICE 2 4 points

Dans le plan orienté, soit ABC un triangle équilatéral tel que :

(−−→ AB ,

−−→ AC

)

= π

3 (2π).

I est le milieu de [BC] et J le point tel que B soit le milieu de [JC].

r1 est la rotation de centre A et d’angle π

3 et r2 la rotation de centre B et d’angle

(

− 2π

3

)

.

1. Soit A′ et B′ les images respectives des points A et B par l’application r2 ◦ r1. Démontrer que I est le milieu de [AA′] et B le milieu de [AB′] ; faire une figure.

2. En précisant la nature de r2 ◦ r−11 , démontrer que pour tout point M du plan, I est le milieu de [M1M2], M1 étant l’image de M par r1 et M2 l’image de M par r2.

3. Démontrer que r2◦r1 est une rotation dont on déterminera le centre et l’angle.

PROBLÈME 12 points

I. Soit (un )n∈N la suite réelle définie par son premier terme u0 et par la condition :

pour tout n deN , un+1 = u2n +un .

1. Démontrer que la suite (un )n∈N est croissante.

2. Démontrer que si (un )n∈N converge alors lim n→+∞

un = 0.

3. Démontrer que si u0+u20 > 0 alors la suite (un )n∈N diverge.

1. Egypte-Éthiopie-Israël-Burkina-Faso

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

4. Démontrer par récurrence que :

si u0+u20 < 0 alors pour tout n deN on a −1< un < 0. Conclure sur la convergence de la suite (un )n∈N.

II. Soit P le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

et F

l’application de P dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M

d’affixe z2+ z.

1. Déterminer l’ensemble des points invariants par F , puis l’ensemble des points invariants par F F .

2. Soit A, B et I les trois points de P d’affixes respectives i, −1− i, − 1

2 . Déterminer

F (A) et F (B).

Soit M0 un point du plan. Démontrer que :

F (M) = F (M0) si et seulement si : M =M0 ou M = S (M0) où S est une transfor- mation simple du plan que l’on précisera.

III. Soit P le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

(Pour les figures, on prendra ∥

−→ u

∥= ∥

−→ u

∥= 4 cm.)

1. Soit H l’ensemble des points du plan dont les coordonnées x et y vérifient x2− y2+ x +1 = 0 et P l’ensemble des points du plan dont les coordonnées x et y vérifient y2+ x = 0. Donner la nature des coniques H et P et préciser leurs éléments de symétrie et les asymptotes éventuelles.

Représenter ces coniques sur une même figure. (On admettra qu’elles sont tangentes aux points d’abscisse x =−1.)

2. Soit H1 et P1 les ensembles de points du plan dont les coordonnées x et y vérifient respectivement :

H1

−1< x < 0 et x2− y2+ x +1> 0

P1

−1< x < 0 et y2+ x < 0

a. Hachurer H1 et P1 sur la figure précédente. (On ne cherchera pas à le justifier par le calcul.)

b. Démontrer queP1 est inclus dansH1 puis queP1 est inclus dansD(K, 1) avec D(K, 1) ensemble des points M tels que ‖KM‖ < 1, K étant le point d’affixe −1.

c. Démontrer que si M appartient à H1 alors F (M) appartient à P1.

3. Soit M0 un point de H1. On définit la suite de points (Mn)n∈N par :

pour tout n deN, Mn+1 = F (Mn). En utilisant 2. b. et c., montrer que la suite (|zn |)n∈N converge, zn étant l’affixe deMn et |zn | le module de zn .

Étranger 2 juin 1992

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