TP géométrie algorithmique 7, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

TP géométrie algorithmique 7, Exercices de Géométrie Algorithmique

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TP de géométrie algorithmique 7 - l’équation d’inconnue z. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les images par S des droites D, la courbe (C ).
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Japon juin 1992 \

EXERCICE 1 5 points

On considère dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation d’inconnue z :

(E) : (1+ iz)n = (1− iz)n

n désignant un entier naturel supérieur ou égal à 2.

1. a. Montrer que pour toute solution z de l’équation (E) on a :

|1+ iz| = |1− iz|.

b. En déduire que si z est une solution de (E), z est un réel.

2. On rappelle que pour tout réel z, il existe un unique réel ϕ de l’intervalle ]

π

2 ; π

2

[

tel que z = tanϕ.

Exprimer en fonction de eiϕ le complexe 1+ iz

1− iz .

3. a. Montrer que z est solution de (E) si et seulement si ϕ est solution de :

(E′) : ei2= 1 avecϕ ∈ ]

π

2 ; π

2

[

.

b. On suppose désormais n = 6. Résoudre l’équation (E′). En déduire les solutions de l’équation (E).

EXERCICE 2 5 points

Dans le planorienté, on considère un triangleOAB rectangle enO tel que (

−−→ OA ,

−−→ OB

)

=

π

2 [2π].

Soit∆ une droite variable passant par O ; on appelle A′ et B′ les projetés orthogonaux respectifs de A et B sur ∆. Le but de l’exercice est de démontrer que lorsque∆ varie, le cercle de diamètre [A′B′] passe par un point fixe.

1. a. Justifier l’existence d’une similitude plane directe S qui transforme O en A et B en O. Pourquoi S n’est-elle pas une translation ?

b. Déterminer l’angle de S.

c. Soit Ω le centre de S. Démontrer que Ω appartient aux cercles de dia- mètres [OA] et [OB]. En déduire que il est le pied de la hauteur du triangle (OAB) issue de O.

2. On appelle D la droite passant par B, orthogonale à .

a. Déterminer les images par S des droites D et ; en déduire l’image de B’ par S.

b. Déduire de ce qui précède, que le cercle de diamètre [A′B′] passe par un point fixe quand ∆ varie.

PROBLÈME 10 points

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Partie A

On considère la fonction f définie sur R+ = [0 ; +∞[ par :

f (x)= ex +e−x

2 .

On note (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

d’unité 2 cm.

1. a. Étudier les variations de f . Déterminer la limite de f (x) en +∞.

b. Construire la courbe (C ).

2. On définit la fonction h sur [0 ; +∞[ par :

h(x)= f (x)− x.

a. Résoudre l’équation ex −e−x −2= 0 (on pourra poser X =

Calculerm ; en donner une valeur approchée à 10−2 près.

3. On définit une suite (un ) de la façon suivante :

u0 = 1 et, pour n entier naturel, un+1 = f (un ) .

a. Montrer que un+1−un peut êtreminoré parm (calculé en 2. b.), puis que un u0 > n.m.

b. En déduire la limite de (un).

4. Soit a un réel quelconque.

a. Discuter graphiquement, en utilisant le 1., le nombre de solutions de l’équation f (x)= a.

b. Résoudre, lorsque c’est possible, cette équation.

Partie B

On définit la fonction ϕ sur l’intervalle [1 ; +∞[ par :

ϕ(x)= ln (

x+ √

x2−1 )

.

On désigne par Γ la courbe représentative de ϕ dans le même repère que celui de (C ).

1. a. Soit x et y deux réels, x> 0, y > 1.

Montrer que l’égalité y = f (x) équivaut à l’égalité x =ϕ(y).

b. Soit M de coordonnées (a ; b) et M ′ de coordonnées (b ; a) ; montrer que M se transforme en M ′ par la symétrie orthogonale d’axe la droite (D) d’équation y = x.

c. En déduire que la courbe Γ est symétrique de (C ) par la symétrie ortho- gonale d’axe (D).

d. Tracer la courbe Γ.

2. On pose α = ϕ(2) et on note ∆ la partie du plan que délimitent d’une part les droites d’équations y = 0 et y =α, d’autre part la courbe Γ et la droite (D).

a. Hachurer ∆ sur le graphique.

b. En utilisant la symétrie de la question 1. b., calculer l’aire en cm2 de ∆.

Japon 2 juin 1992

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