TP géométrie algorithmique 9, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

TP géométrie algorithmique 9, Exercices de Géométrie Algorithmique

PDF (41.4 KB)
3 pages
151Numéro de visites
Description
TP de géométrie algorithmique 9 - l’expression complexe de s. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’affixe de O, la nature.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Metropolegr2Cjuin1992.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Métropole groupe 2 1 juin 1992 \

EXERCICE 1 5 points

Dans le plan orienté on considère un rectangle ABCD tel que :

AB= 1, BC= 2 et (

−−→ AB ,

−−→ AD

)

=

π

2 (modulo2π).

On appelle M le milieu du segment [BC].

1. Soit s la similitude directe telle que : s(A) =Met s(B) =D.Déterminer le rapport et l’angle de s.

2. On se propose dans cette question de préciser la position du centre O de la similitude s.

a. Les droites (AB) et (DM) se coupent en I.

Démontrer que les points A, O, M et I sont cocycliques.

En déduire que : BM = BO = BA.

b. Démontrer que DM = DO.

c. En déduire que O est le symétrique deM par rapport à la droite (BD).

3. Le plan est muni d’un repère orthonormal direct tel que les affixes des points A, B et D sont respectivement 0, 1 et 2i.

a. Déterminer l’expression complexe de s et l’affixe de O.

b. Vérifier que O est bien le symétrique deM par rapport à la droite (BD) en montrant queBM=BOet que les droites (OM) et (BD) sont orthogonales.

EXERCICE 2 4 points

On considère dans le plan P un triangle AFB rectangle en A et on note θ la mesure en radians de l’angle B avec :

0< θ < π

2 .

Soit M un point quelconque du plan, On trace par M les parallèles aux droites (AF) et (FB) qui rencontrent la droite (AB) respectivement enH etM′. On appelle (Γ) l’en- semble des points M du plan tels que MM′ =MF.

1. Montrer que M appartient à (Γ) si et seulement si :

MF

MH =

1

sinθ .

En déduire que (Γ) est une conique dont on précisera la nature.

2. Dans cette question on prend FA = 6 avec le centimètre pour unité et θ = π

6 .

Après avoir construit le triangle AFB, représenter les sommets, les foyers et le centre de la conique (Γ).

Achever ensuite la construction de (Γ).

1. Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

PROBLÈME 11 points

n étant un entier naturel non nul, on se propose d’étudier la famille des fonctions fn , définies sur [0 ; +∞[ par :

{

fn (x) = xn(1− lnx) six > 0 et fn (0) = 0.

On désigne par (Cn) la représentation graphique de fn dans le plan rapporté à un

repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité : 4 cm).

I. Étude générale des fonctions fn , (n ∈N∗)

1. a. Montrer que toute fonction fn est continue en 0.

b. Discuter selon les valeurs de n la dérivabilité de fn en 0. Interpréter gra- phiquement ce résultat.

c. Déterminer la limite de fn en +∞.

2. a. Étudier suivant les valeurs de x le signe de l’expression :

fn+1(x)− fn (x)

et préciser les valeurs de x pour lesquelles elle s’annule.

b. En déduire la position relative des courbes (Cn) et (Cn+1) et montrer que toutes les courbes (Cn) passent par trois points fixes dont on précisera les coordonnées.

3. a. Étudier les variations de fn et dresser son tableau de variations.

b. Pour n > 1, déterminer en fonction de n, une équation de la tangente à (Cn) en chacun des points d’abscisses 1 et e.

c. En utilisant les résultats précédents, construire sur un même graphique les courbes (C1) , (C2) et (Cn).

4. Soit a un réel positif différent de 0 et de e. On considère les deux points

M ∈ (Cn) et M ′ ∈ (Cn+1) de même abscisse a.

a. On trace : la droite (OM ′),

la droite passant par M et parallèle à l’axe des abscisses et la droite d’équation x = 1.

Montrer que ces droites sont concourantes.

b. Construire, en expliquant la construction, le point M ′ à partir du point M .

II. Étude de la suite des intégrales

∫e

1 fn (t)dt .

Pour tout n entier naturel non nul on pose :

In =

∫e

1 fn (t)dt .

1. Sans calculer cette intégrale étudier le sens des variations de la suite (In ).

2. En utilisant une intégration par parties, déterminer en fonction de n l’expres- sion de In . En déduire lim

n→+∞ In .

III. Étude des solutions des équations fn (x) = 1

Dans cette partie n est un entier supérieur ou égal à 2.

Métropole groupe 2 2 juin 1993

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. On désigne par xn le réel non nul tel que fn (xn)= 0.

Montrer que x"n ∈ [1 ; e[. Calculer lim n→+∞

xn .

2. Montrer que sur l’intervalle [xn ; e[ l’équation fn(x) = 1 admet une solution unique. On désignera par αn cette solution.

3. Montrer que : fn+1 (an)> 1. En déduire que la suite (αn) est croissante.

4. Déterminer lim n→+∞

αn .

Métropole groupe 2 3 juin 1993

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome