Travaux pratiques - calcul numérique - 1° partie, Exercices de Calcul avancé. Université Bordeaux I
Eusebe_S
Eusebe_S20 May 2014

Travaux pratiques - calcul numérique - 1° partie, Exercices de Calcul avancé. Université Bordeaux I

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Travaux pratiques de sciences mathématique sur le calcul numérique - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Mettre de l’ordre, Interro 1, Nombres premiers.
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Classe de Seconde

Calcul numérique et activités

1. Mettre de l’ordre 2. Interro 1 (c) 3. Interro 2 4. Interro 3 (c) 5. Interro 4 (c) 6. Interro 5 (c) 7. Interro 6 8. Interro 7 9. Interro 8 10. Comparer a, a² , a3 et 1/a 11. Vrai / Faux – Sûr / Pas Sûr : les pourcentages 12. Pourcentages – Situations concrètes 13. Notation scientifique… 14. Atomes 15. Pliages 16. Bactéries 17. Calcul de fractions 18. Calcul de distances 19. Quelques calculs

20. Fraction 21. Somme d’inégalités 22. Valeurs absolues 23. Inégalités 24. Encadrements 1 25. Encadrements 2 26. Vrai ou Faux ? (c) 27. Nature d’un nombre (c)

28. Irrationalité de 7 29. Simplifications sur les puissances 30. Simplifications de racines carrées 31. Simplifications d’expressions (fractions) 32. Ensembles de nombres 33. Devinette 34. Pavages (c) 35. Module en calcul numérique : fractions

FICHE ENSEIGNANT FICHE ELEVE

1. Mettre de l’ordre

Un segment [AB] de longueur 9 cm est le point de départ d’une construction que l’on vous propose de réaliser. Mais pour cela , il vous faut d’abord remettre un peu d’ordre dans les consignes ci-dessous ...

Vous devez :

1. Réordonner et recopier les consignes .

2. Justifier le choix de l’ordre après chaque consigne par une phrase simple .

3. Réaliser soigneusement la construction à la règle et au compas en partant du segment [AB] .

4. Repasser (en couleur par exemple) la courbe AB’’A’’BED .

Voici la liste des consignes :

1 - Le cercle de centre B et de rayon AB coupe en D la demi-droite [BC) .

2 - On appelle B’’ le symétrique de B’ par rapport à C’ .

3 - A’ et B’ sont deux points de [AB] tels que AA’=A’B’=BB’ .

4 - Tracer l’arc A’’B’’ du cercle de centre C’ et de rayon C’A’’ .

5 - La droite (AB) partage le plan en deux demi-plans, C n’appartient pas au même demi-plan que C’. le point C est tel que ABC soit rectangle en C et isocèle.

6 - Tracer l’arc DE du cercle de centre C et de rayon CE .

7 - On appelle C’ un point tel que A’B’C’ soit un triangle équilatéral .

8 - Tracer l’arc BA’’ du cercle de centre A’ et de rayon A’B .

9 - Le cercle de centre A et de rayon AB coupe en E la demi-droite [AC) .

10 - Tracer l’arc AB’’ du cercle de centre B’ et de rayon B’A .

11 - On appelle A’’ le symétrique de A’ par rapport à C’ .

2. Interro 1 (c)

1. Déterminer le PGCD de 2520 et 2646.

2. Calculer, puis simplifier les fractions suivantes :

a. 1 3 1

3 4 5

    

  b.

1 1

1 1

3

3. Ecrire les résultats suivants sous forme de multiplication de puissances de 2, 3 et 5 :

a. 2 4

2 3

2 3 5

2 3 5

 

  b.

3

2

6 25

40

Correction

1. 2520 = (23).(32).5.7 et 2646 = 2.(33)(72) donc PGCD(2520;2646) = 2 x 3 x 3 x 7 = 126.

2. a. 1 3 1

3 4 5

    

  = (−5/12).(1/5) = −1/12.

b. 1 3 7

1 1 1 4 4

1 3

   

.

3. a. 2 4

6 4

2 3

2 3 5 2 3 5

2 3 5

 

    

  .

b. 3 3 3 2

3 3

2 6 2

6 25 2 3 5 2 3

40 2 5

   .

3. Interro 2

Ensembles : Compléter le tableau suivant avec le signe  ou  .

x

−13

59,0000002

7

4 

4

23

7

4 

9

Nombres premiers :

1. 251 est-il un nombre premier ? Justifier la réponse. Même question avec 257.

2. Décomposer 980 en produit de facteurs premiers.

3. Décomposer 630 en produit de facteurs premiers.

Correction

1. 15² < 251 < 16² or 2, 3, 5, 7, 11, 13 ne divisent pas 251 donc 251 est un nombre premier.

16² < 257 < 17² or 2, 3, 5, 7, 11, 13 ne divisent pas 257 donc 257 est un nombre premier.

2. 980 = 2 x 490 = 2 x 2 x 245 = 2 x 2 x 5 x 49 = 2² x 5 x 7².

3. 630 = 63 x 10 = 7 x 9 x 2 x 5 = 2 x 3² x 5 x 7.

4. Interro 3 (c)

EXERCICE 1

1. Mettre les nombres suivants sous forme de fractions irréductibles :

a. 5 10 2

1 6 4 3    b.

1 2

3 3 28

7 27

c.  

2 4 3

3

10 10

10

  d.

18 15 3

27 25 25

 

2. Mettre le nombre suivant sous forme 7a a est un entier relatif : 3 112 2 7 5 28  .

3. Donner la valeur exacte du nombre suivant :   4 5 2 3 5  .

Correction

1. a. 5 10 2 5 5 2 5 6 15 4

1 1 0 6 4 3 6 2 3 6

            .

b.

1 6 1 2

7 3.3 213 3 . 3 28 3.4.7 3 4 4

7 27 7.3.3.3

 

  

.

c.  

2 4 3

1

3

10 10 1 10

1010

 

  .

d. 18 15 3 2 3 7

27 25 25 5 25 25

    

 .

2.  3 112 2 7 5 28 3 4 2 5 2 7 20 7        .

3.   4 5 2 3 5 8 12 5 2 5 15 10 5 7        .

EXERCICE 2

1. Résoudre les équations suivantes.

a. 3x  5 = 5x – 2 b. 7x + 6 = 4x – 7 c. x + 3 = 7 – 2x

2. Résoudre les inéquations suivantes et représenter en couleur sur un axe gradué les solutions.

a. 3x  5 > 5x – 2 b. 7x + 6  4x – 7 c. x + 3 < 7 – 2x

Correction

1. a. 3x  5 = 5x – 2 <=> 2x = −3 <=> x = −3/2.

b. 7x + 6 = 4x – 7 <=> 3x = −13 <=> x = −13/3.

c. x + 3 = 7 – 2x <=> 3x = 4 <=> x = 4/3.

2. a. 3x  5 > 5x – 2 <=> 2x < −3 <=> x < −3/2.

b. 7x + 6  4x – 7 <=> 3x  −13 <=> x  −13/3.

c. x + 3 < 7 – 2x <=> 3x < 4 <=> x< 4/3.

EXERCICE 3

Soit un triangle ABC quelconque.

1. Donner la définition de :

- médiatrice du segment [AB] :

- médiane issue de A :

- bissectrice de l’angle ABC :

- hauteur issue de B :

2. Faire une figure différente pour chaque question.

a. Les trois médiatrices du triangle ABC se coupent en O. Placer O. Quelle est la particularité du point O ?

b. Les trois médianes du triangle ABC se coupent en G. Placer G. Comment l’appelle-t-on ? Quelle est la particularité du point G ?

c. Les trois hauteurs du triangle ABC se coupent en H. Placer H . Comment l’appelle-t-on ?

d. Les trois bissectrices du triangle ABC se coupent en I. Placer I . Quelle est la particularité du point I ?

3. Qu’arrive-t-il à ces droites dans le cas où le triangle ABC est équilatéral ? Et s’il est isocèle en A ? Et s’il est rectangle en A ?

4. Justifier la construction à chaque fois.

a. Reproduire le segment [AB] et le point I extérieur à [AB]. Construire le point C de façon à ce que le point I soit le point d’intersection des bissectrices du triangle ABC.

AB

 I

b. Reproduire le segment [AB] et le point H extérieur à [AB]. Construire le point C de façon à ce que le point H soit le point d’intersection des hauteurs du triangle ABC.

AB

H

c. Reproduire le segment [AB] et le point G extérieur à [AB]. Construire le point C de façon à ce que le point G soit le point d’intersection des médianes du triangle ABC.

A B

 G

5. Interro 4 (c)

Ex 1 : Nombres premiers

1. Le nombre 403 est-il premier ? Justifier.

2. Le nombre 307 est-il premier ? Justifier.

3. Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers : A = 252 ; B = 28  5544.

Ex 2 : Avec des fractions

1. Donner à l’aide de la calculatrice une valeur approchée de

2 3 5

4 A       

puis développer A.

2. Simplifier 8 2 56

16 B

  .

3. Ecrire sous forme de fraction irréductible :

1 1

4 2

5 C

 .

Ex 3 : Avec des puissances

Simplifier les expressions suivantes en montrant les étapes de simplification :

9 3

4 11

10 6

25 3 2 A

 

  ,

118 119

1 1

10 10 B   , 108 106

107

1 5 2 11

10 C     .

Ex 4 : Montrer et utiliser une égalité

1. Montrer que pour tous nombres a et b de on a l’égalité suivante :

 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b    

2. Utiliser cette égalité pour factoriser  3 8x  .

Ex 5 : Avec des racines

Ecrire 98 2A   sous la forme a b b est le plus petit possible. Ce nombre est–il un élément de ?

Correction

Ex 1 : nombres premiers

1. 403=13 31 ; 403 est divisible par 13, ce n’est pas un nombre premier.

2. 307 non divisible par 2 (impair), par 3 (somme des chiffres …), par 5 (finit par 7…). De plus : 307

43,9 7  ,

307 27,9

11  ,

307 23,6

13  ,

307 18,05

17  ,

307 16,2

19  (aucune des divisions « ne tombe juste »

).

Inutile de continuer les divisions car les quotients seraient plus petits que 17 et on aurait déjà trouvé un diviseur entier ) 307 est premier.

3. Décomposons en produit de facteurs premiers :

A = 252 =2 126 = 2 2 63 = 22 9 7 = 22 32 7.

B = 28 55 44 = 7 4 11 5 4 11 = 7 22  11 5 22 11 = 24  5 7 112.

Ex 2 :

1.

2 3 5

0,036 4

A       

;  

22

2

3 53 5 9 6 5 5 14 6 5 7 3 5

4 16 16 84 A

             

.

2.  8 2 78 2 56 2 7

16 8 2 2 2 B

    

 .

3.

1 1 3

3 1 34 2 4 55 4 5 20

1

C

     .

Ex 3 : 90A  , 1199 10B   , 55

2 C  .

Ex 4 : 1. Développer pour vérifier.

2. Avec a = x, et b = 2 : 3 28 ( 2)( 2 4)x x x x    

Ex 5 : 8 2A  qui n’est pas un rationnel.

6. Interro 5 (c)

Exercice 1 : Ecrire plus simplement :

  2

2A x    3

2B x    22 33C x y y xy  1 35D x x 

Correction

  2

2A x  = 4x²

  3

2B x  = −8x3

  2233C xy yxy  = x²y3(3 – 1) = 2x2y3

1 35D x x  = 5x².

Exercice 2 : Ecrire les nombres suivants sous la forme 2 3 5

150 ; 36 ; 150

36 ; (150)2 36 ;

  3

150

36 ;

2

150²

2 6

5

     

.

Correction

150 = 2 x 3 x 5²

36 = 6² = 2² x 3²

150/36 = 2−1x3−1x5²

1502 x 36 = (2 x 3 x 5²)²2² x 3² = 24 x 34 x 54

(1503)/36 = (2 x 3 x 5²)3 / (2² x 3²) = 2 x 3 x 56

2

150²

2 6

5

     

= (23 x 32) / ( (2 x 3 x 5²)² x 5²) = 2 x 56

Exercice 3

1. Décomposer 1400 en produit de facteurs premiers.

2. Ecrire tous les diviseurs de 1400.

Compléter par un nombre entier :

1400 ………est le carré d’un nombre entier.

1400  ……est le cube d’un nombre entier.

Correction

1. 1400 = 7 x 2 x 100 = 7 x 2 x 5 x 5 x 2 x 2

2. Div (1400) = {1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8 ; 10 ; 14 ; 20 ; 25 ; 28 ; 35 ; 40 ; 50 ; 56 ; 70 ; 100 ; 140 ; 175 ; 200 ; 280 ; 350 ; 700 ; 1400}.

1400 x 14 est le carré d'un nombre entier : 140 (14 = 2 x 7).

1400 x 245 est le cube d'un nombre entier : 70 ( 245 = 5 x 7 x 7).

Exercice 4 : a, b et c sont des nombres non nuls. Ecrire les nombres suivants sous la forme p q ra b c  :

2

c A

a

b

      

   

25

2 3

1 B a bc

a b

  2

²ab C

ca   

2 3 5D a b

Correction

2 2

2

c A a b c

a

b

         

;    

25 1 2

2 3

1 B a bc a c

a b

    ; 3 2 1 2

²ab C a b c

ca

     ;

  2

3 5 6 10D a b a b    .

7. Interro 6

Exercice 1

1. Calculer le produit de quatre entiers consécutifs et ajouter 1. Que remarque-t-on ? (Faire plusieurs essais)

2. Montrer que, pour tout réel a, on a   1 2 ( 3) 1a a a a       2

2 3 1a a  .

Expliquer le résultat observé à la question 1.

Exercice 2

1. Calculer la somme de 5 entiers consécutifs. Que remarque-t-on ? (Faire plusieurs essais)

2. Montrer que la somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de 5

Exercice 3

1. Un nombre pair s’écrit sous la forme ……………………………..

Un nombre impair s’écrit sous la forme ……………………………..

2. Montrer que le carré d’un nombre pair est un nombre pair.

3. Montrer que le carré d’un nombre impair est un nombre impair.

4. a. Calculer la somme de trois entiers impairs consécutifs. Le résultat est-il un nombre premier ? (Faire plusieurs essais).

b. Démontrer ce que vous avez observé à la question a.

5. a. Développer et réduire l’expression   2 21n n  .

b. En déduire que tout nombre impair s’écrit comme la différence des carrés de deux entiers consécutifs.

c. Appliquer ce résultat aux entiers 13, 45 et 101.

8. Interro 7

Compléter les tableaux suivants :

Nombre

Valeur approchée

par défaut à 10−3 près

Valeur approchée par excès à 10−3 près

Valeur approchée

par défaut à 10−1 près

Valeur approchée par excès à 10−1 près

Valeur arrondie à

10−2 près

Valeur arrondie à

10−3 près

2

2

125 5

234,21 0,0003 10 

320 2 10

Nombre

Valeur arrondie à 3

chiffres significatifs

Valeur approchée par

excès à 10−3 près

Valeur approchée par défaut à 10−1

près

Valeur arrondie à 2

chiffres significatifs

Valeur arrondie à

10−3 près

3

2

25 5 4

2 2

4 1205 3 4 10

  

20,1205 7,15 10 

32 21 69 10 

Nombre 5 239 10 45,89 10   123 456 000 0,00024682 5 002

500 410 85 3 10

Valeur arrondie à 2

chiffres significatifs

Valeur arrondie à 4

chiffres significatifs

9. Interro 8

CALCULS NUMERIQUES ET LITTERAUX

1. Opposés et inverses

a. Parmi les réels suivants, entourer l’opposé de :

* 1 1 1 1

2 rép ; ; 2; ; 2 2 2 2

  

 ;

* 1 1 1 1 1

rép ; ; 2; ; 2 2 2 2 2

   

  ;

* 1 1 1 1

5 rép: ; ; 5 ; ; 5 5 5 5

  

 .

b. Quel est l’opposé de chacun des réels suivants :

5 2

3  x x 1x  1 x 2x

1

x

Correction

−5 ; 2/3 ; −x ; x ; – x – 1 ; x − 1 ; −x² ; 1/x.

c. Parmi les réels suivants, entourer l’inverse de :

* 1 1

3 rép : 3 ; ; 3 3

  ;

* 1 1 1

rép : 3 ; ;3 ; 3 3 3

  ;

* 1 1

-4 rép : 4; ; 4 4  ;

* 2 3 2 3

rép : - ; ; 3 2 3 2

 .

d. Quel est l’inverse de chacun des réels suivants :

5 4

5  x x 1x  1 x 2x

2

1x  

Correction

1/5 ; −5/4 ; 1/x ; x−2 ; 1/(x+1) ; 1/(x−1) ; (1−x)/2.

2. Quotients, puissances, racines carrées

a. Quotients : calculer

* 5 4

7 3   *

5 4

7 3   *

5 7

7 3   *

5

7 7

3

Correction :

43/21 ; 20/21 ; 5/3 ; 15/49.

b. Puissances : calculer et donner la réponse sans puissances négatives

* 3 54 4  * 5

3

3

3

  *  

2 32   * 3 32 5   *

2

2

3

5

 

* 3

2

10

10

Correction

1/4² ; 1/3² ; 1/26 ; 1/103 ; (5/3)² ; 1/106.

Et avec des lettres (on ne se préoccupe pas du signe des puissances !)

* 23 3a  

* 310 10p  

* 1p pa a  

* 5 52 a 

*   22 1 2 p

p a  

* 1

3

3

p

P

c. Racines carrées : simplifier ou développer

* 2 6

* 21

3

* 12 108

*   2

2 6

*   2 2x x 

* 3 2 5 3 7 2 6 3  

* 7 5 20 45 

* 3 2

1 2 3  

* 1

2 5

Correction :

22 3 ; 7 ; 4 3 12 9 2 3 6 3 4 3 ; 4 6 4 6 10 4 6 ; 2 ;10 2 3x             ;

 3 2 6 1 6 2 5 7 5 2 5 3 5 2 5 ; ; 5 2.

4 56 6

         

3. PUISSANCES DE DIX

a. Compléter

3 1 3

4 2

2 2 11 9

10 10 10

100 0,001 4,3 43

2,34 234 0,149 149 15000 15

7040 704 3 10 1,4 10

0,012 10 546,3 10 2,35 10 10

 

  

   

     

     

      

Correction

103 = 1000

100 = 10 ²

2,34 = 234 x 10−2

7040 = 704 x 10

0,012 x 10 ² = 1,2

10−1 = 1/10 = 0,1

0,001 = 10 −3

0,149 = 149 x 10−3

3 x 10−4 = 0,0003

546,3 x 10−2 = 5,463

10−3 = 0,001

4,3 = 43 x 10−1

15000 = 15 x 103

1,4 x 10 ² = 140

2,35 x 10 11 = 235 x 10 9

b. Mettre en notation scientifique

24,5 4500 0,0078

658 0,000085 7005000

  

    

Correction

24,5 = 2,45. 10

−658 = −6,58.10 ²

4500 = 4,5.103

0,000085 = 8,5.10−5

0,0078 = 7,8.10−3

−7005000 = −7,005.106

c. Donner un ordre de grandeur de chacun des nombres suivants

7 9

4 5

1

00095 41000

0,0008 0,000003

0,012

8,9172 10 2,093 10

1,092 10 9,83 10

9,3 10

x

y

z

t

 

 

 

   

   

Vérifier à la calculatrice.

10. Comparer a, a² , a3 et 1/a

Activité préparatoire

Compléter le tableau suivant en vous aidant de votre calculatrice.

a a² a3 1

a

Classer les valeurs trouvées dans l’ordre croissant

1

2

10

0,3

4

0.8

2,9

0,99

0,01

Dans quelle situation peut-on dire que a > a² > a3 ?

…………………………………………………………………………………………………

Dans quelle situation peut-on dire que a <a² < a3 ?

…………………………………………………………………………………………………

Dans quelle situation peut-on dire que 1

a a  ?

…………………………………………………………………………………………………

Dans quelle situation peut-on dire que 1

a a  ?

…………………………………………………………………………………………………

Faire une démonstration

Démonstration de a < a² lorsque a > 1.

Comparer a et a² lorsque a > 1 c’est étudier le signe de leur différence.

Etudions le signe de a − a² lorsque a > 1 : on peut factoriser a a² en écrivant aa² = a(1 − a). a est positif car a > 1 mais 1 − a est négatif car 1 < a et le produit d’une valeur positive par une valeur négative donne une valeur négative. On en déduit que aa² est négatif donc que a² > a lorsque a > 1.

En vous inspirant de la démonstration précédente faites la

Démonstration que a > a² lorsque a < 1

Mêmes questions : la démonstration que 1

a a  lorsque a > 1 ; la démonstration que

1 a

a  lorsque a <

1.

11. Vrai / Faux – Sûr / Pas Sûr : les pourcentages

Remplir le tableau suivant :

Vrai Faux Sûr Pas sûr

Il revient au même d’augmenter le prix d’un article de 20% puis de 30% que de l’augmenter de 30% puis de 20%.

Pour augmenter un prix de 20,6% on le multiplie par 1,206.

54% de 40 euros font 21 euros et soixante cents.

Quand on augmente de 17%, puis, diminue de 17%, on ne change rien.

Un Compteur EDF sous estime de 20% la consommation. Quand on lit 1300 kW, la consommation réelle est de 1625 kW.

Pour diminuer de 27%, on multiplie par 0,73

43 020 euros représente 31% du salaire d’un riche homme d’affaire. Il gagne donc 133 362 euros.

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