Travaux pratiques - calcul numérique - 2° partie, Exercices de Calcul avancé
Eusebe_S
Eusebe_S20 May 2014

Travaux pratiques - calcul numérique - 2° partie, Exercices de Calcul avancé

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Travaux pratiques de sciences mathématique sur le calcul numérique - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Pourcentages, Bactéries Tous les résultats, Calcul de distances, Somme d’inégalités, Encadr...
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Il revient au même d’augmenter le prix d’un article de 20% puis de le baisser de 15% que de le baisser de 15% puis de l’augmenter de 20%.

Pour augmenter de 8%, on multiplie par 1,8.

Une balance exagère de 20%. On pèse de la farine et on lit 160 g. Il y a en fait 128 g de farine.

Augmenter de 23% puis de 5%, c’est augmenter de 28%.

12. Pourcentages – Situations concrètes

1. Le magasin : un magasin accorde une remise de 15% sur une veste coûtant 400 euros et une autre remise de 20% sur un pantalon de 240 euros. Quel est le pourcentage global de remise sur un ensemble constitué d’une chemise et d’un pantalon ? Justifier.

Un commerçant veut solder une paire de chaussures. Il applique d’abord une baisse de 40% sur son prix. Après réflexion, trouvant le nouveau prix trop bas, il décide de le réaugmenter de 15%.

Il peut alors afficher sur son écriteau : « SOLDES ! 207 euros la paire de chaussures ! ».

Quel était le prix initial ?

2. Le prix d’un vêtement a augmenté de 20% la première année puis de 15% la seconde année .

De quel pourcentage a donc augmenté le prix de cet article au cours de ces deux années ?

Heureusement la période des soldes arrive ; de quel pourcentage environ doit diminuer le prix de ce vêtement pour retrouver son prix initial (on donnera le résultat à 1% près ) ?

3. a. L'inflation galopante : dans un pays, l'inflation atteint 6 % par mois.

Quel est environ le taux d'inflation annuel : 6 % , 72 % , 66 % , 100 % , 200 %?

b. Un paquet de café en promotion contient 25 % de café gratuit en plus. De combien le prix au kilo a-t-il baissé ? (Donner la réponse sous la forme d'un pourcentage)

4. Le prix d’une calculatrice : une calculatrice coûtait 45 euros en 2005. Son prix en 2006 a été ramené à 39,60 euros.

a. De quel pourcentage a-t-elle baissé entre 2005 et 2006 ?

b. On annonce pour 2007 une baisse de 30% car le modèle va changer. Quel sera son prix en 2007 ?

c. Suite à son lancement en 2002, elle avait augmenté de 20% entre 2002 et 2003.

Quel était son prix de lancement ?

13. Notation scientifique…

1. Les constantes universelles : les formules de physique comportent souvent des nombres très particuliers que l'on appelle constantes universelles (par exemple la célérité de la lumière c = 299

792458 1.m s ).

Ecrire les constantes universelles suivantes en notations scientifiques :

29

33

96484,56

166,0565 10

0,6626176 10

299792458

F

u

h

c

 

 

g = 980,665 x 210 ;

AN = 6 022,045 2010 ;

me  910,9534 3310 ;

e = 1602,1892 2210

2. Ecrire en notation scientifique les nombres suivants :

52,34d  2

10000 f  2503 10g  

14. Atomes

Un atome d’Argon peut être considéré comme une sphère de rayon 0,98 Å ( un Å est un Angström soit 10−10 mètres).Combien d’atomes d’Argon doit on placer en file pour obtenir une longueur de 1 mm ?

L’atome de Cuivre a un rayon de 1,17 Å et sa masse volumique est de 9 g/cm2 . En admettant que les atomes sont bien rangés et en ne tenant pas compte des espaces libres entre eux, calculez le nombre d’atomes présents dans 1 cm3 de Cuivre. Calculez alors la masse d’un atome de Cuivre et comparez au résultat que donnent les tables : mCu=9,6.10-26 kg.

15. Pliages

1. Combien de fois pensez vous pouvoir plier en deux (à chaque fois sur elle-même) une feuille de papier machine ?

2. Supposons que l’on dispose d’une feuille d’épaisseur 1/20 mm, assez grande pour être pliée en deux, puis de nouveau en deux , etc., et cela 20 fois de suite. Quelle serait l’épaisseur de la « feuille » ainsi obtenue ?

3. Et si on pliait 50 fois de suite ?……..

16. Bactéries

Tous les résultats seront donnés en écriture scientifique avec un chiffre significatif (style 5,3.1018). Par

ailleurs le volume d’une sphère de rayon r est environ 34r et celui d’un cylindre de hauteur h et de rayon

r est environ 23r h .

On étudie les possibilités de développement d’une bactérie cylindrique d’une longueur de 4 microns et de section circulaire dont le rayon est égal à 1 micron (1 micron = 1 micromètre = 10—9 m). Dans des conditions optimales chaque bactérie se dédouble toutes les 20 minutes.

1. Quel est le nombre théorique de bactéries au bout de 20 mn, d’une heure, de 2 heures, de 40 heures, de 10 jours ?

2. Quel est le volume occupé par les bactéries au bout de 10 jours ? Quel est le pourcentage du volume terrestre occupé par ces bactéries (rappelons que la Terre est assimilable à une sphère de 6400 km de rayon) ?

3. Au bout de combien de temps le nombre de bactéries sera-t-il supérieur au volume de la Terre ?

17. Calcul de fractions

En moins d’une minute donner une fraction égale à la somme

1 1 1 1 1 1 1 1

6 12 20 30 42 56 72 90 S         .

Indication : Calculer d’abord 1 1

2 3  puis

1 1

3 4  et

1 1

4 5  . Enfin, calculer S.

18. Calcul de distances

L’année lumière (a.l.) est la distance parcourue par la lumière pendant une année. La vitesse de la

lumière est environ 300 000 km/sc .

1. Mettre c en écriture scientifique.

2. Donner une valeur approchée d’une a.l. sous la forme .10 kmpn n et p sont des nombres entiers, n

compris entre 0 et 9.

3. On considère que une a.l. correspond environ à 1013 km. La distance Terre-Soleil étant d’environ 15 millions de km combien de temps la lumière met-elle pour nous parvenir du Soleil ?

4. Une Unité Astronomique (U.A.) est une unité de mesure égale à la distance Terre-Soleil. Combien y-a- t’il d’U.A. dans une a.l. (environ) ?

19. Quelques calculs

1. Simplifier 8 5

3 12

16.10 .81.10

2,43.10 .256.10 a

 

  .

2. Combien vaut 210 ? Donner un ordre de grandeur de 230, 264. Combien de chiffres au moins sont-ils nécessaires pour écrire 264 ?

3. Soient a=72,51.10−5, b = 0,2386.104 et c = 135,32.10−7.

Ecriture scientifique de a, b et c. Donner un ordre de grandeur de ab

c .

4. Calculer 2 1 1 5

: 9 6 3 4

a              

.

5. Un cm3 d’air pèse 1,29.10−3 g. Quelle est la masse d’air contenue dans une pièce de 4m sur 4,5m sur 2,5m ?

Un cm3 de plomb pèse environ 50 g. Quel serait le volume de plomb dont la masse serait identique à l’air contenu dans la pièce ? Quel est le plus lourd ? L’air ou le plomb.

6. En moins d’une minute il est facile de donner une fraction égale à la somme

1 1 1 1 1 1 1 1

6 12 20 30 42 56 72 90 S         .

Calculer d’abord 1 1

2 3  puis

1 1

3 4  et

1 1

4 5  . Enfin, calculer S.

20. Fraction

1. Décomposer 1782 et 999 en produit de facteurs premiers.

2. En déduire le PGCD des nombres 1782 et 999.

3. Soit r = 1,783783783… = 1, 783

a. Quelle est la nature du nombre r ? Justifier votre réponse.

b. Montrer que 1782

999 r  .

c. En déduire l'écriture fractionnaire irréductible de r.

21. Somme d’inégalités

1. Si les deux inégalités a’<a et b’<b sont vraies, démontrer avec soin que l’on a alors : a' + b’ < a + b .

2. Énoncer la propriété ainsi démontrée.

3. On suppose que a < ba et b sont deux nombres négatifs.

En justifiant chaque étape, montrer que 6 ² 1 6 ² 1a b     .

22. Valeurs absolues

Calculer les valeurs absolues suivantes : 6 19  , 5 5 8 2 .

Donner la valeur exacte en justifiant.

23. Inégalités

1. Choisir deux nombres strictement positifs et vérifier que le quotient de leur produit par leur somme est inférieur au quart de cette somme.

2. Ce qui a été constaté sur un exemple est toujours vrai.

En effet : démontrer que si a > 0 et si b > 0 alors on a 4

ab a b

a b

 

 . Dans quel cas a-t-on l’égalité ?

3. En déduire que si a>0, b>0 et c>0 alors 2

ab bc ca a b c

a b b c c a

    

   .

24. Encadrements 1

1. A l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée par excès de 5

21 à 310 près. Justifier votre

réponse à l’aide d’un encadrement.

2. Donner un encadrement de 3 d’amplitude 0,5 .

3. Donner l’approximation décimale par excès d’ordre 5 de 5 .

4. Déduire de l’encadrement de 7 suivant 2,6 7 2,7  un encadrement de 1

7 .

25. Encadrements 2

1. Soient x et y deux nombres réels tels que 3,5 < x < 3,6 et −2,5 < y < −2,4. Encadrer les nombres suivants :

a. 3x + 2 b. 1

3 2x  c. 5 − 2x d. −y x e. xy

2. Soient x et y deux nombres réels tels que −3,5 < x < −3,4 et 2,5 < y < 2,6. Encadrer les nombres suivants :

a. 4y + 3 b. 1

4 3y  c. 7 − 3y d. −xy e. xy

26. Vrai ou Faux ? (c)

Justifier la réponse.

1. Un nombre décimal ne peut pas être un entier.

2. Un nombre décimal est un rationnel.

3. Un nombre décimal est un réel.

4. Un nombre irrationnel peut être un entier.

5. Un nombre entier relatif est un décimal.

6. L’opposé d’un entier naturel est un entier naturel.

7. L’inverse d’un entier autre que 0 est un décimal.

8. a b et b a sont deux nombres inverses.

9. l’inverse d’un rationnel non nul est un rationnel.

Correction

1. FAUX : il peut l’être. 1 est un décimal 0

1 1

10

   

  et il est entier.

2. VRAI : Un décimal 10n

a d  est un rationnel

a

b

     

.

3. VRAI : Tout nombre est réel (jusqu’en Terminale S…).

4. FAUX : Puisqu’un entier est rationnel 1

n n    

  .

5. VRAI : Bien sûr 010

n n    

  .

6. FAUX : Si un entier n est positif, son opposé −n est négatif.

7. FAUX : 3 est un entier mais son inverse 1

3 n’est pas décimal.

8. FAUX : a b et b a sont deux nombres opposés.

9. VRAI : l’inverse d’un rationnel p

q non nul est un rationnel

q

p .

27. Nature d’un nombre (c)

Quelle est la nature du nombre 1

1 1

10 3 11 10 3 11

A

  

?

Correction

On pose 1

A B

 . Calculons d’abord le nombre B :

2 2 2 2

1 1 1 (10 3 11) 1 (10 3 11)

10 3 11 10 3 11 (10 3 11)(10 3 11) (10 3 11)(10 3 11)

10 3 11 10 3 11 10 3 11 10 3 11 10 3 11 10 3 11

100 99 100 9910 (3 11) 10 (3 11)

20.

B

B

B

             

           

  

Donc, 1 20

2020 A   est irrationnel car 20 n’est pas un carré parfait.

28. Irrationalité de 7

Montrer que 7 est un nombre irrationnel.

29. Simplifications sur les puissances

1. Simplifiez les expressions suivantes ...

 

 

2 3 4 3 2 5

3 4 5

2 3 2

2 3

2 2 (3 ) 3

2 2 2

2 3

2 3

3

A

B

C

D

 

   

  

 

      

2 3 2

4 2 3

2 4 1

1 3 5

3 5

2 7 49

7 4 2

2 3 27

3 4 4

E

F

G

 

              

                   

                   

2. Ecrire les nombres suivants sous la forme 2 5n m où n et m désignent des entiers relatifs .

a = 4

5

2

10 b =

3

5

25

5 c =

  3

2

6 6

10

2 5 d =

4

5

2

10 e =

3

5

25

5 f =

  3

6 6

10²

2 5 .

3. Simplifier en donnant le résultat sous forme d’une fraction irréductible (on donnera le résultat sous la

forme n ma b n et m sont des entiers relatifs) :

5 2

3 4

12 35

49 21 A

 

 ;  

6 4

10 8 0, 0

a b B a b

a b

    .

30. Simplifications de racines carrées

1. Simplifiez les expressions suivantes :

27 2 75 108

256 121 144

3 169 361 3 256

2 44 99 2 275

A

B

C

D

  

  

  

  

175 448 63

4 80 3 180 3 45

2 32 3 18 3 50

8 12 225

9 25 24

E

F

G

H

  

  

  

  

36 3 6 5 144

45 26 27

7 30 13

99 539 44

7 3 49 5 9

I

J

K

L

  

  

  

  

2. Simplifiez les expressions suivantes :

108 ; ( 3)² ; 9 ² 4 ²t t ; 1000 ; ( 7)² ; (4 ² 25 ²a a .

3. Simplifiez les quotients suivants (écrire B, C, J et L avec un dénominateur entier)

2 363

33 2 1 B

    

 

3 360 2 180

10 2 C

 

2 1

2 2 J

 

3 1

3 2 L

 

31. Simplifications d’expressions (fractions)

1. Soit a un nombre différent de 0 et de −1. On pose

1 1

1

11 1

aA a

a

  

. Ecrivez A sous forme de quotient.

2. Ecrire les nombres suivants sous forme de fraction irréductible :

3 1 5

4 3 3 1

5 4 3

a

 

 

150 13

71 58 9 38

29 71

b   2 2

3

14 121

55 49 c

 

5 4 2 21

3 5 7 3 d    

5871

19150 29 71

9 38

e 

5 1 3

7 2 5 1

3 7 2

f

 

 

 

  113 14 44 2

5 7 2 8 55 3

g

       .

3. Simplifiez les expressions suivantes :

4 5

3 4 a   ;

7 6

8 13 b   ;

1 2 (3 )

4 c   ;

1 5 9

2 6 d    ;

6

35

3 e ;

6

35

3

f  .

9 1

10 100 a   ;

7 35 :

4 26 b  ;

1

1 1

2 6

c

; 5 1 1 1

6 4 3 12 d     ;

6

35 3

5

e .

32. Ensembles de nombres

Soient      28 5 147 5, 3, 2, 3,2, ,49 , 3,3, , 3, ,495 2 3 2A B C       trois ensembles.

1. Déterminez ; ; ; ; ; ; ; .A B A C A B A C A A A A       

2. Complétez  avec  ou  . A A B  3,4 A

B B A C A  2, 3 A

3. Complétez  avec  ou  . 3 B 2,5 A 2 C 5

3 B 2,8 A 147

3 C

33. Devinette

1. Choisir trois chiffres distincts. Calculer leur somme s.

2. Ecrire les six nombres possibles que l'on peut obtenir en permutant ces trois chiffres.

3. Calculer la somme S de ces six nombres. Calculer le quotient de S par s.

Recommencer deux fois avec trois autres chiffres. Que remarque-t-on ?

4. Démontrer le résultat conjecturé à la deuxième question.

Correction

1. 3 ; 5 ; 1 ; s = 3+5+1=9.

2. S = 351+315+531+513+153+135 = 1998.

3. 1998

222 9

S

s   . On remarque que le quotient de S par s est toujours égal à 222.

4. Soit c, d et u les trois chiffres choisis alors s = c+d+u.

S = (100c+10d+u) + (100c+10u+d)+...+(100u+10c+d),

S = 200(c+d+u) + 20(c+d+u)+2(c+d+u) = 222s, d’où 222

222 S s

s s   .

34. Pavages (c)

Une entreprise est chargée de paver une salle rectangulaire avec des carreaux. La pièce mesure 5,45 m de long sur 3,10 m de large.

L’entreprise dispose de deux sortes de carreaux :

* des « petits » carreaux carrés de 15 cm de côté et coûtant 3 euros pièce ; pour poser ces carreaux elle paye un carreleur qui pose 120 carreaux de ce type par heure, le salaire du carreleur est 10 euros l’heure.

* des « grands » carreaux rectangulaires de 20 cm de large sur 30 cm de long, coûtant 8 euros pièce ; le carreleur pose 60 carreaux de ce type par heure, le salaire du carreleur est toujours de 10 euros l’heure. Les carreaux sont posés tous dans le même sens.

L’entrepreneur doit-il choisir de poser des « petits » ou des « grands » carreaux pour avoir la dépense totale la plus petite ?

Correction

Avec des carreaux de côté 15 cm il faut 545/15=36,33, soit 37 carreaux dans la longueur et 310/15=20,7, soit 21 carreaux dans la largeur (on pourrait réutiliser la chute de 10 cm de large pour remettre dans la longueur mais le temps passé à la découpe risque d’être trop coûteux, sans compter les pertes).

On a donc besoin de 777 carreaux, ce qui représente 6,475 heures = 64,75 euros de pose d’où un total de 2395,75 euros.

Avec des grands carreaux de 20 par 30 posés dans le sens de la largeur il faut 545/20=27,…, soit 28 cx dans la longueur et 310/30=10,33, soit 11 cx dans la largeur, soit un total de 308 cx, ce qui représente 5,13 heures de pose et donc un coût total de 308*8+51,3=2515,33 euros.

Avec des grands carreaux de 20 par 30 posés dans le sens de la longeur il faut 545/30=18,17…, soit 19 cx dans la longueur et 15,5, soit 16 dans la largeur, soit un total de 304 cx, ce qui représente 5,07 heures de pose et donc un coût total de 304*8+50,7=2482,67 euros.

35. Module en calcul numérique : fractions

FICHE ENSEIGNANT

Ce module est proposé aux élèves avec les consignes suivantes :

ils sont répartis en petits groupes de quatre élèves de niveaux différents : l’objectif est l’aide de ceux qui ont des difficultés par ceux qui ont bien compris la notion.

Pour cela, les quatre pages sont distribuées à chaque élève et un autre exemplaire est donné au groupe : c’est celui-là qui sera rendu par le groupe.

La consigne principale est : « ce qui est écrit sur le document commun doit être compris par tous les membres du groupe. » L’objectif n’est pas de finir le module mais de comprendre ce qui est fait.

On peut proposer aux élèves de travailler sur leur propre feuille et de périodiquement mettre en commun leurs résultats (on leur conseillera alors de faire fréquemment cette démarche : par exemple, à la fin du I, du II 2), du II 3), du II 4), du III et du IV).

L’enseignant peut corriger de temps en temps mais seulement sur la feuille commune : à priori, les élèves sont suffisamment nombreux dans chaque groupe pour se mettre d’accord sur les consignes et pour critiquer leurs résultats. De temps en temps, il faut malgré tout débloquer les groupes qui prennent trop de retard par rapport aux autres.

Ce module a déjà été remanié après avoir été essayé dans deux classes. Il semblerait qu’il soit encore un peu long si l’on souhaite laisser un maximum de liberté aux élèves.

Le II leur paraît souvent fastidieux (particulièrement pour l’addition) mais il me semble important de montrer aux élèves que la reformulation claire en langage courant d’une démarche est une bonne méthode pour s’assurer de sa bonne compréhension.

Auteur : Fredéric Pasco

FICHE ELEVE

I. J’entoure la (ou les) réponse(s) exacte(s) :

1. 1 1

6 9  est égal à :

2 5 0,277

15 18   

2. 3 7

4 9  est égal à :

21 7 10

36 12 13   

3.

3

4 7

3

est égal à : 4 28 9

7 9 28   

II. Je mets en place une démarche de calcul :

1. Le calcul a effectuer est :

a. une multiplication : j’utilise alors la méthode du 2) ;

b. une division : j’utilise alors la méthode du 3) ;

c. une addition ou une soustraction : j’utilise alors la méthode du 4).

2. Une multiplication :

a. Je multiplie deux fractions en

b. Je donne un exemple :

3. Une division :

a. Je sais que diviser une fraction par une autre revient à

b. Je donne un exemple (je n’effectue pas la multiplication) :

c. Une fois cette transformation effectuée, j ‘utilise la méthode du 2).

d. Je poursuis mon exemple :

4. Une addition ou une soustraction :

a. Pour ajouter ou soustraire deux fractions, il faut (si ce n’est pas déjà fait) tout d’abord

b. Je donne deux exemple : l’un pour lequel il faut effectuer la démarche du a) (je l’effectue alors), l’autre pour lequel ce n’est pas nécessaire (je n’effectue pas l’addition ou la soustraction !) :

c. J’écris le résultat du calcul sous la forme d’une seule fraction :

* au numérateur, je place

* au dénominateur, je place

* Enfin,

d. Je poursuis mes deux exemples du b) :

III. J’effectue les opérations suivantes :

 Au fur et à mesure, je remplis le tableau appelé « RECAPITULATIF DES ERREURS » : j’écris les éventuelles difficultés de certains membres du groupe et les corrections qui y ont été apportées.

a. 1 2

4 3  

b. 7 2

4 3  

c. 23 15

21 46  

d. 4 3

5 4

      

 

e.

1

2 3

5

f.   2

5 3    

g. 1

2 3  

RECAPITULATIF DES ERREURS

Numéros Erreurs et corrections

IV. Je corrige les exercices suivants en écrivant les commentaires dans le tableau ci-dessous :

a. 4 3 1 3 1 1 1

5 4 5 1 5 3 15      

b. 3 2 6 5

1 1 2 9 18 18      

c. 8 3 24 28 4

2 7 2 14 14 14      

d. 4 1

4 4 1 16 4    

e. 5 5

0 12 8  

f. 420 99 41580 2 20790 20790 3 6930 6930 7 990 990 11 90 90

78 77 6006 2 3003 3003 3 1001 1001 7 143 143 11 13 13

             

   

Numéros Erreurs et corrections

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