Travaux pratiques d'algèbre 1, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

Travaux pratiques d'algèbre 1, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Travaux pratiques d'algèbre 1 sur le nombre complexe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: lemodule et l’argument de x, lemodule et l’argument du nombre, le repère orthonormé.
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[ Baccalauréat Étranger groupe I 1 juin 1966 \ Mathématiques élémentaires et mathématiques et technique

EXERCICE 1

Soit le nombre complexe α= p 3+ i.

1. Calculer le module et l’argument de α.

2. Calculer le module et l’argument du nombre

β= 2i−α.

3. Calculer le module et l’argument du nombre

γ= 2i+α.

4. Calculer le module et l’argument du nombre

δ= γ

β .

EXERCICE 2

Ox y z est un repère orthonormé. Le point A a pour coordonnées, par rapport à ce repère,

x =−1, y = 0, z = 0.

1. Soit (P) la parabole qui a pour foyer O et pour directrice la droite du plan xOy qui y a pour équation x +2= 0. Former l’équation cartésienne de la parabole (P) dans le plan xOy .

Soit (Q) la parabole qui a pour foyer A et pour directrice 1a droite du plan xOz qui y a pour équation x −1= 0. Former l’équation cartésienne de la parabole (Q) dans le plan xOz.

2. Soit M un point de (P) ; on désigne par a son abscisse ; soit S un point de (Q) ; on désigne par b son abscisse.

Évaluer :

– la longueur du, segment OM en fonction de a, – la longueur du segment AS en fonction de b, – la longueur du segment SM en fonction de a et de b.

Vérifier la relation

SM+OA=OM+AS.

3. On suppose b 6= 0 ; soit U le point de coordonnées

x =−b, y = 0, z = 0.

Démontrer que la droite SU est tangente à (Q). Évaluer en fonction de a et de

b le produit scalaire −−→ SM ·

−−→ SU et en déduire que l’angle USM est aigu.

1. Le Groupe 1 comprend les centres d’examen suivants : Tunisie, Cameroun, Gabon, Tchad, Congo, République centrafricaine, Mali, Côte d’Ivoire, Haute-Volta, Niger, Mauritanie, Athènes, Rome, Espagne, Portugal, Tel-Aviv, Beyrouth, Syrie, Le Caire, Addis-Abbéba, Djibouti.

Le baccalauréat de 1966 A. P. M. E. P.

4. On suppose que b reste fixe (avec b 6= 0). Calculer cos USM et en déduire que l’angle USM ne dépend pas de a.

On désigne par (Π) le plan qui passe par A et qui est perpendiculaire à SU ; la droite SM le coupe en un point m. Démontrer que, lorsque a varie (b étant fixe), m reste sur un cercle fixe, (Γ), dont on calculera le rayon en fonction de b.

5. La tangente en m à (Γ) coupe le plan xOy en un point T. Quel est le lieu de T lorsque, b restant fixe, a varie ?

Quel est le lieu du centre,ω, de (Γ) quand S varie sur (Q) ?

Étranger groupe I Mathématiques élémentaires et mathématiques et technique2 juin 1966

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