Travaux pratiques d'algèbre 2, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

Travaux pratiques d'algèbre 2, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Travaux pratiques d'algèbre 2 sur l'application numérique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la mesure de longueur, les coordonnées, l’ensemble.
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[ Baccalauréat La Réunion juin 1966 \ Mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

Le nombre e étant la base des logarithmes népériens et m étant un nombre réel donné, déterminer les valeurs de x dans l’ensemble des réels telles que

ex +me−x = 1.

Application numérique : m =−12. Donner le résultat avec la précision des tables de logarithmes à cinq décimales.

EXERCICE 2

Dans tout le problème le plan est rapporté à un systèmed’axes orthonormé x ′Ox, y ′Oy .

1. On considère l’ensemble (H) des points M(x ; y) dont les coordonnées véri- fient la relation

(x +a)2− y2 = a2

a est une mesure de longueur donnée non nulle). Construire l’ensemble (H) dans le repère donné, en précisant les sommets, les éléments de symétrie, les asymptotes.

Une droite (D) variable a pour équation

y = xtgϕ (

π

2 6ϕ6

π

2

)

Déterminer en fonction de ϕ les coordonnées, x et y , du point commun, M, autre que O, à la courbe (H) et à la droite (D).

2. On appelle (T) la transformation ponctuelle du plan qui, à tout point M(x ; y) distinct de O, associe le point P(X ; Y ) tel que

−−→

OP = 4a2

−−→

OM

OM2 .

Déterminer les coordonnées, X et Y , du point P en fonction des coordonnées, x et y , deM. Exprimer, en fonction deϕ, les coordonnées, X et Y , de P lorsque M est sur la courbe (H). Montrer que l’ensemble (Γ) des points P associés aux différents points de (H) est identique à l’ensemble des points dont les coordonnées vérifient la rela- tion

Y 2+X 2 = 4aX 2

2a X .

3. Étudier les variations de la fonction

Y = X

2a +X

2a X .

Construire son graphe dans le repère donné. En déduire l’ensemble (Γ) trouvé dans la question précédente.

4. On construit le cercle (C) ayant pour centre O et dont le rayonmesure 2a. Montrer que les points communs à ce cercle et à la courbe (H) sont les som- mets d’un triangle équilatéral. Préciser la transformation (T) qui associe les courbes (H) et (Γ). En déduire les points communs aux courbes (H) et (Γ).

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