Travaux pratiques d'algèbre 4, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Travaux pratiques d'algèbre 4 sur l’inversion de pôle O et de puissance 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les limites de ces distances, les calculs.
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[ Baccalauréat Lyon juin 1966 \ Mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

Un point O situé sur l’axe d’un cylindre C de révolution est le centre d’une sphère S dont le rayon est supérieur à celui de C. On appelle

le solide formé des points intérieurs à la sphère S et extérieurs au cylindre C. Montrer que le volume de

s’exprime uniquement en fonction de la distance h des plans contenant les cercles d’intersection de C et de S.

EXERCICE 2

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé x′Ox, y ′Oy , on considère, d’une part, le faisceau des cercles (Ωλ) tangents à x

′Ox au point d’abscisse 1 et dont les centres sont les points ωλ de coordonnées (1 ; λ) et, d’autre part, le faisceau des droites Oωλ. On désigne par Mλ et M

λ les points d’intersection de (Ωλ) et de Oωλ, M

λ étant celui

de ces points dont l’abscisse est supérieure à 1. L’objet du problème est l’étude de l’ensemble (Γ) décrit par les points Mλ et M

λ lorsque λ décrit l’ensemble R des nombres réels.

1. Quel est le transformé de (Γ) par l’inversion de pôle O et de puissance 1 ?

Quel est le transformé de (Γ) par la symétrie d’axe x′Ox ?

2. Calculer, en fonction de λ, les distances OMλ et OM ′

λ .

Calculer les limites de ces distances quand λ tend vers +∞.

Calculer, en fonction de λ, la distance deM à la droite d’équation x = 2.

Calculer la limite de cette distance lorsque λ tend vers +∞.

Quelle est la propriété géométrique de (Γ) mise en évidence par ce résultat ?

3. Le nombreλ étant donné, écrire l’équation du cercle (0Ωλ) et celle de la droite Oωλ.

En déduire une relation indépendante de λ entre les coordonnées d’un point de (Γ).

4. Soit f l’application de [0 ; +2[ dans R définie par

f (x)= (x −1)

x

x −1 .

a. Soit (Γ1) le graphe de f dans le plan rapporté à x′Ox, y ′Oy . Comment peut-on déduire (Γ) de (Γ1) ?

b. Montrer, avant d’entreprendre le calcul de toute dérivée, que la fonc- tion dérivée de f prend, au moins une fois, la valeur 0 dans l’intervalle ]0 ; +1[.

c. Étudier f et construire (Γ1), puis (Γ). On précisera l’allure de (Γ) au voi- sinage du point d’abscisse 1.

5. On considère maintenant deux nombres réels, λ et µ.

a. Montrer que les pointsMλ ,M ′

λ ,Mµ etM′µ sont situés sur unmêmecercle,

dont on désigne le centre par σλµ.

b. Montrer que les points O, ωλ,ωµ et σλµ sont cocycliques.

En supposant λ fixe, déterminer la position limite τλ, de σλµ quand µ tend vers λ.

Quel est l’ensemble des points τλ lorsque λ décrit R.

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