Travaux pratiques d'algèbre 4, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

Travaux pratiques d'algèbre 4, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

PDF (26.5 KB)
1 page
176Numéro de visites
Description
Travaux pratiques d'algèbre 4 sur l’inversion de pôle O et de puissance 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les limites de ces distances, les calculs.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Lyon juin 1966.dvi

[ Baccalauréat Lyon juin 1966 \ Mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

Un point O situé sur l’axe d’un cylindre C de révolution est le centre d’une sphère S dont le rayon est supérieur à celui de C. On appelle

le solide formé des points intérieurs à la sphère S et extérieurs au cylindre C. Montrer que le volume de

s’exprime uniquement en fonction de la distance h des plans contenant les cercles d’intersection de C et de S.

EXERCICE 2

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé x′Ox, y ′Oy , on considère, d’une part, le faisceau des cercles (Ωλ) tangents à x

′Ox au point d’abscisse 1 et dont les centres sont les points ωλ de coordonnées (1 ; λ) et, d’autre part, le faisceau des droites Oωλ. On désigne par Mλ et M

λ les points d’intersection de (Ωλ) et de Oωλ, M

λ étant celui

de ces points dont l’abscisse est supérieure à 1. L’objet du problème est l’étude de l’ensemble (Γ) décrit par les points Mλ et M

λ lorsque λ décrit l’ensemble R des nombres réels.

1. Quel est le transformé de (Γ) par l’inversion de pôle O et de puissance 1 ?

Quel est le transformé de (Γ) par la symétrie d’axe x′Ox ?

2. Calculer, en fonction de λ, les distances OMλ et OM ′

λ .

Calculer les limites de ces distances quand λ tend vers +∞.

Calculer, en fonction de λ, la distance deM à la droite d’équation x = 2.

Calculer la limite de cette distance lorsque λ tend vers +∞.

Quelle est la propriété géométrique de (Γ) mise en évidence par ce résultat ?

3. Le nombreλ étant donné, écrire l’équation du cercle (0Ωλ) et celle de la droite Oωλ.

En déduire une relation indépendante de λ entre les coordonnées d’un point de (Γ).

4. Soit f l’application de [0 ; +2[ dans R définie par

f (x)= (x −1)

x

x −1 .

a. Soit (Γ1) le graphe de f dans le plan rapporté à x′Ox, y ′Oy . Comment peut-on déduire (Γ) de (Γ1) ?

b. Montrer, avant d’entreprendre le calcul de toute dérivée, que la fonc- tion dérivée de f prend, au moins une fois, la valeur 0 dans l’intervalle ]0 ; +1[.

c. Étudier f et construire (Γ1), puis (Γ). On précisera l’allure de (Γ) au voi- sinage du point d’abscisse 1.

5. On considère maintenant deux nombres réels, λ et µ.

a. Montrer que les pointsMλ ,M ′

λ ,Mµ etM′µ sont situés sur unmêmecercle,

dont on désigne le centre par σλµ.

b. Montrer que les points O, ωλ,ωµ et σλµ sont cocycliques.

En supposant λ fixe, déterminer la position limite τλ, de σλµ quand µ tend vers λ.

Quel est l’ensemble des points τλ lorsque λ décrit R.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome