Travaux pratiques d'algèbre 6, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

Travaux pratiques d'algèbre 6, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Travaux pratiques d'algèbre 6 sur le cercle trigonométrique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la précision des tables de logarithmes, les trois polynômes, les racines.
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[ Baccalauréat Montréal et New York juin 1966 \ Mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

1. Déterminer, sur le cercle trigonométrique, les extrémités de tous les arcs x vérifiant la relation

2sinx cosx + (p

3−1 )

cos2 x − (p

3+1 )

sin2 x = 0.

2. Calculer avec la précision des tables de logarithmes à cinq décimales les va- leurs de x (en degrés) satisfaisant à la relation

2sinx cosx + (p

3−1 )

cos2 x − (p

3+1 )

sin2 x = 0,1.

EXERCICE 2

Partie A

On rappelle que le nombre a (réel ou complexe) est appelé racine du polynôme P (x) si P (a)= 0. On donne les trois polynômes :

A(x) = a0x2+a1x +a2, B(x) = b0x2+b1x +b2, C (x) = c0x2+c1x +c2.

Les constantes a0, a1, a2, b0, b1, b2, c0, c1 et c2 sont réelles et choisies de telle façon que, pour tout x, on ait

A2(x)+B2(X )=C2(X ).

D’autre part, aucun des nombres a0, b0, c0 n’est nul.

1. Montrer que, si deux de ces trois polynômes admettent une racine commune, réelle ou complexe, cette racine est aussi racine du troisième.

2. Montrer que, si les deux polynômes B(x)−C (x) et B(x)+C (x) admettent une racine commune, cette racine e8t également racine de B(x) et de C (x).

Partie B

Dans toute la suite du problème, on suppose que les polynômes A(x),B(x) et C (x) n’ont pas de racine commune.

1. Montrer que C (x) possède deux racines complexes conjuguées. À partir de l’égalité

A2(x)= [C (x)−B(x)][C (x)+B(x)],

montrer que les polynômes C (x)−B(x) et C (x)+B(x) ont chacun une racine double réelle.

En déduire que A(x) et B(x) admettent chacun deux racines réelles distinctes.

2. On prend a0 = 1 et l’on suppose connues les racines, p et q , de A(x).

Montrer qu’il existe une infinité de polynômes B(x) et C (x) dépendant d’un paramètre et vérifiant A2(X )+B2(X )=C2(x).

Le baccalauréat de 1966 A. P. M. E. P.

3. Montrer qu’entre les racines, p et q , de A(x) et les racines, r et s, de B(x) il existe une relation indépendante du paramètre précédent et que l’on explici- tera.

Partie C

Les nombres réels p et q , racines de A(x), étant fixés, il existe une infinité de poly- nômesC (x) calculés à la partie B, 2. On appellera X +iY et X −iY les racines deC (x). Montrer qu’entre X ,Y et p,q il existe une relation, que l’on explicitera. Quelle est la courbe géométriquedécrite, dans un repère orthonormé, par l’ensemble des points de coordonnées X ,Y ?

Montréal et New YorkMathématiques élémentaires2 juin 1966

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