Travaux pratiques d'algèbre 9, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Travaux pratiques d'algèbre 9 sur les axes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le cercle de centre O, la fonction rationnelle.
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[ Baccalauréat C Nice juin 1966 \ Mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

Ondonne un angle quelconque xOy . Un point M décrit la demi-droite Ox. Un point N varie sur Oy de façon que ON−OM= , étant une longueur donnée.

1. Trouver le lieu du milieu, α, du segment MN. (On peut utiliser la voie analy- tique, les axes étant Ox, Oy .)

2. On appelle β le point du segment MN tel que

−−→

Mβ −−→

MN = k, k étant un nombre

donné.

Trouver le lieu de β quand M varie.

EXERCICE 2

On donne un repère orthonormé et le cercle de centre O (origine du repère), de rayon R et orienté dans le sens trigonométrique. On appelle A le point (+ R ; 0) et A’ le point (−R ; 0) ; M et N désignent deux points quelconques du cercle et l’on pose

(

−−→

OA , −−→

OM )

= a, (

−−→

OA , −−→

ON )

= b,

a et b étant les mesures en radians des angles correspondants, comprises entre 0 et 2π.

1. Démontrer que l’équation de la droiteMN peut s’écrire

x = cos a +b

2 + y sin

a +b

2 −Rcos

a b

2 = 0.

2. Onsuppose que la droiteMNcoupe l’axe y ′Oy en 1 et l’on appelleC le deuxième point où la droite AI recoupe le cercle. C sera appelé «point associé » au couple

de points M, N et l’on pose (

−−→

OA , −−→

OC )

= c (c compris entre 0 et 2π).

Former la relation liant les trois nombres a,b et c.

À cet effet, on formera d’abord l’équation de la droite AC, puis on exprimera que les droites MN et AC coupent y ′Oy aumême point.

Montrer que la relation trouvée peut s’écrire, en général,

tg c

2 =

tg a

2 + tg

b

2

1+ tg a

2 tg

b

2

.

Où se trouve C lorsque l’un des points M, N est confondu avec A′ ?

Lorsque la droite MN est parallèle à y ′Oy , quel point la relation trouvée permet-elle d’associer au couple M, N ?

3. Exprimer sinc et cosc en fonction rationnelle de sina,sinb,cosa,cosb.

4. On donne, sur le cercle, trois points, X, Y et Z, définis par

(

−−→

OA , −−→

OX )

= x, (

−−→

OA , −−→

OY )

= y, (

−−→

OA , −−→

OZ )

= z

(x, y,z compris entre 0 et 2π). Au couple (X ; Y ) il correspond, d’après le 2., un «point

associé » P ; on note x y l’angle (

−−→

OA , −−→

OP )

.

Baccalauréat Mathématiques élémentaires A. P. M. E. P.

Demême, on notera Q le «point associé » au couple (Y ; Z ) et yz l’angle (

−−→

OA , −−→

OQ )

.

On pose

tg x

2 = t1, tg

y

2 = t2, tg

z

2 = t3.

Démontrer que

tg (x y)◦ z

2 = tg

x ◦ (y z)

2 =

t1+ t2+ t3+ t1t2t3

1+ t1t2+ t1t3+ t2t3 .

Donner la construction, sur le cercle, des points U et V tels que

(

−−→

OA , −−→

OU )

= x ◦ (y z) et (

−−→

OA , −−→

OV )

= (x y)◦ z,

à partir de X ,Y ,Z .

Énoncer la propriété géométrique correspondant à l’égalité trouvée.

Nice 2 juin 1966

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