Travaux pratiques d'algèbre - mathématiques élémentaires 1, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Travaux pratiques d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le nombre complexe, l'application, l’équation de l’ensemble des points M.
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[ Montpellier juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

On donne le nombre complexe

z = p 3+1+ i

(p 3−1

) .

Calculer son carré, Z = z2. En déduire le module et l’argument de z.

EXERCICE 2

1. Qu’appelle-t-on barycentre du système de trois points de l’espace, A, B, C, res- pectivement affectés des coefficients 1, 2, 3 ?

Application : On donne quatre points de l’espace, A, B, C et D. Déterminer géométriquement l’ensemble des points M tels que

(−−→ MA +2

−−→ MB +3

−−→ MC

) · (−−−→ MD +

−−→ MA

) = 0.

2. On suppose maintenant que les quatre points A, B, C et D ont pour coordon- nées, dans un repère orthonormé d’origine O,

A(+2 ; −2 ; +3), B

( 1

2 ; −2 ; −3

) , C(+3 ; 0 ; −3), D(−4 ; +2 ; +3).

Donner l’équation de l’ensemble des points M caractérisés comme précé- demment.

EXERCICE 3

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé d’origine O, on considère les deux points A(+ 1 ; 0) et B (+ 3 ; 0). À tout point P du plan, non situé sur la droite AB, on fait correspondre le point M de coordonnées

x = a

2 , y = b

a et b désignant les mesures des longueurs des segments PA et PB.

1. Préciser l’ensemble, E, des points M correspondant à tous les points P ainsi considérés. (On rappelle que trois nombres sont les mesures des côtés d’un véritable triangle si, et seulement si, chacun d’eux est strictement inférieur à la somme des deux autres.)

2. a. Préciser le lieu, (∆), des points M pour lesquels le triangle APB est iso- cèle.

b. Préciser le lieu, (R), des points M pour lesquels le triangle APB est rec- tangle.

3. Montrer que l’angle PAB est égal à π 3

si, et seulement si, x et y vérifient la

relation

y = 2 √

x2− x +1.

Étudier les variations de la fonction

Le baccalauréat de 1967 A. P. M. E. P.

y = f (x)= 2 √

x2− x +1.

et construire le lieu, (Y ), des points M pour lesquels PAB= π 3 . On étudiera la

branche infinie de (Y ).

4. Montrer que, si P appartient à un cercle (C ) du faisceau à points limites A et B, le lieu de M est une portion de droite, que l’on précisera.

Cette portion de droite peut-elle être une demi-droite ?

5. Déterminer le lieu, (LP ), de M si le produit de longueurs PA . PB a une valeur donnée, p.

Discuter la forme de (LP ) suivant les valeurs de p.

Montpellier 2 juin 1967

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