Travaux pratiques d'algèbre - mathématiques élémentaires 10, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

Travaux pratiques d'algèbre - mathématiques élémentaires 10, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Travaux pratiques d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le problème, variation des Les points A et B.
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[ Rennes juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

1. Soit f la fonction qui, à tout nombre réel x, fait correspondre le nombre réel f (x) :

f (x)= 2x+1

x2+ x+1 .

Étudier les variations de cette fonction et tracer son graphique, (C ), dans un repère orthonormé d’axes x′Ox et y ′Oy .

2. Soit g la fonction qui, à tout nombre réel x différent de 1, fait correspondre le nombre réel g (x) :

g (x)= |(x−1)(2x+1)|

(x−1) (

x2+ x+1 )

et au nombre 1 fait correspondre le nombre 1.

|(x−1)(2x+1)| signifie : valeur absolue du produit (x−1)(2x+1).

La fonction g est-elle continue pour x = 1 ; pour x =− 1

2 ?

La fonction g est-elle dérivable pour x =− 1

2 ?

Comment peut-on déduire le graphique, (C ′), de la fonction g du graphique, (C ), de la fonction f ?

EXERCICE 2

Déterminer deux nombres entiers naturels dont la différence est 22932 et dont le PPMC (plus petit communmultiple) est 98280.

EXERCICE 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

. Soit −−−→ x′Ox et

−−−→ y ′Oy les axes.

A et B sont deux points variables de x′Ox, d’abscisses respectives a et b. C est un point fixe de y ′Oy , d’ordonnée c positive ; C′ est le symétrique de C par rapport à O. Soit (A ) le cercle de centre A et de rayon AC, (B) le cercle de centre B et de rayon BC. La tangente CT en C au cercle (A ) et la tangente C′T′ en C′ au cercle (B) ont, en général, un point commun, M . Le problème a pour objet l’étude de quelques ensembles de points M, dans des cas qui peuvent être traités indépendamment les uns des autres.

1. Déterminer les coordonnées de M . En déduire l’ensemble (E1) des points M lorsque les points A et B varient sur x′Ox en restant symétriques par rapport à un point fixe, K, d’abscisse k (k 6= 0).

Indiquer une construction simple de (E1) lorsque le point K est donné.

2. Les points A et B varient de telle sorte que AB = , étant un nombre positif donné.

Déterminer analytiquement et construire l’ensemble (E2) des points M cor- respondants.

Que devient (E2) si l’on suppose AB=−?

Le baccalauréat de 1967 A. P. M. E. P.

3. Les cercles (A ) et (B) varientmaintenant en se coupant sous un angle constant, c’est-à-dire que, si CT1 est la tangente en C à (B),

(CT, CT1)=V (moduloπ),

V étant un nombre donné (

π

2 <V 6

π

2

)

. Calculer tg V en fonction de a,b et c.

a. Déterminer analytiquement et construire l’ensemble (E3) des points M

quand V = π

2 .

b. Déterminer l’équation cartésienne, par rapport aux axes x′Ox et y ′Oy ,

de l’ensemble (E4) des points M pour V tel que − π

2 <V <

π

2 .

On considère, dans le plan, un nouveau repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v )

,

lié au repère (

O, −→ ı ,

−→ )

par les relations

−→ u =

−→ ı sin

V

2 + −→ cos

V

2 −→ v = −

−→ ı cos

V

2 + −→ sin

V

2 ů

Déduire de ces relations et des égalités

−−−→ OM = x

−→ ı + y

−→ = X

−→ u +Y

−→ v .

les coordonnées, x et y , d’un point M dans le repère initial (

O, −→ ı ,

−→ )

,

en fonction des coordonnées, X et Y , de ce point dans le nouveau repère (

O, −→ u ,

−→ v )

.

Écrire l’équation de (E4) dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v )

et préciser la nature

de cet ensemble. Construire (E4)·

4. Cette question a pour but de retrouver géométriquement (E1) et (E2). Elle est indépendante de la question 3.

Soit B′ le point symétrique du point B par rapport à O. Démontrer que les tri- angles MCC′ et CAB′ sont semblables.

Lorsque les points A et B varient sur x′Ox en restant symétriques par rapport

à un point fixe K, d’abscisse k, calculer AB′.

En déduire géométriquement l’ensemble (E1) des points M correspondants.

Lorsque les points A et B varient de telle sorte que AB = , quelle relation existe-t-il entre les points A et B′ ?

En déduire l’ensemble (E2) des points M correspondants.

Rennes 2 juin 1967

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