Travaux pratiques d'algèbre - mathématiques élémentaires 13, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Travaux pratiques d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: lemodule et l’argument du nombre, le calcul, lemodule et l’argument des nombres.
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Sud-Vietnam mathelem juin1967.dvi

[ Sud VietNam juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

Soit ϕ un nombre réel compris entre 0 et π

2 ;

(

06ϕ6 π

2

)

et soit p le nombre com-

plexe

p = cosϕ+ i sinϕ.

1. Calculer le module et l’argument du nombre p2−1.

2. Soit z1 et z2 les solutions complexes de l’équation

z2−2pz +1= 0.

Montrer que z1 et z2 sont les solutions de l’équation

(z p)2 = p2−1.

Calculer le module et l’argument des nombres z1−p et z2−p.

EXERCICE 2

Étudier la fonction qui associe à la variable réelle x le nombre réel

y = x2−7x +8

(x −2)2 .

Soit (L) le graphique de cette fonction dans un repère orthonormé. Utiliser le graphique (L) pour étudier, suivant les valeurs du paramètre réel m, le nombre de solutions de l’équation suivante :

4x (1−m)+2x (4m −7)+8−4m = 0.

EXERCICE 3

Le plan (Π) est rapporté à un repère orthonormé. Soit x′Ox et y ′Oy les axes de coordonnées. On considère sur l’axe x′Ox, le point S

d’abscisse (

p

2

)

, p désignant un nombre réel strictement positif donné, ainsi que

la droite (∆) perpendiculaire en S à cet axe x′Ox.

1. À tout point H de (∆) on associe la droite (D) perpendiculaire en H à la droite OH. On pose

(x′Ox, OH)=ϕ (moduloπ).

Écrire l’équation de la droite (D) en fonction de ϕ et p.

Endéduire l’équation (1) qui détermineϕ lorsque (D) passe enunpoint donné, M0, de coordonnées

(

x0 ; y0 )

.

Transformer cette équation en une équation (2) de la forme

(2) Acos2ϕ+B sin2ϕ+C = 0,

A,B,C s’exprimant au moyen de x0, y0 et p.

Vérifier que cette équation (2) nepeut admettre la solutionϕ = π

2 (moduloπ).

Le baccalauréat de 1967 A. P. M. E. P.

Comparer alors les ensembles de solutions des équations (1) et (2).

Quel est l’ensemble (P) des points M du plan (Π) par où il ne passe qu’une seule droite (D) ?

Quel est l’ensemble E des points M du plan (Π) par où passent deux droites (D) ?

2. x1 et y1 désignant les coordonnées d’un point M1 de l’ensemble E, l’équation (2) correspondante possède alors deux solutions, définies modulo π :

ϕ1 et ϕ2.

Exprimer ces solutions aumoyen des angles auxiliaires θ et α définis par

A = r cosθ,B = r sinθ,C =−r cosα, α∈ [0 ; π].

En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur x1, y1 et p pour que l’on ait

ϕ1−ϕ2 = π

4 (moduloΠ),

ou ϕ1−ϕ2 = 3π

4 (moduloΠ).

3. Soit Q un point de E. Par Q passent deux droites (D). On désigne par (D1) et (D2) ces droites, par H1 et H2 leurs points d’intersection respectifs avec (∆).

On pose

ϕ1 = (

x′Ox, OH1 )

(moduloπ), ϕ2 =

(

x′Ox, OH2 )

(moduloπ).

On appelle (H ) l’ensemble des points Q de E tels que l’angle (D1, D2) soit égal

à π

4 ou

3π

4 (modulo π).

Quelle est l’équation de (H ) ?

(H ) est une hyperbole, dont on déterminera le centre, les sommets, les foyers et les asymptotes. (Faire un dessin clair et précis, en prenant p = 3 cm.)

Situer (H ) par rapport à (P). Préciser, en particulier, les points communs à (H ) et (∆), ainsi que les droites (D) passant par ces points.

Sud VietNam 2 juin 1967

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