Travaux pratiques d'algèbre - mathématiques élémentaires 15, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Travaux pratiques d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 15. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Résoudre l’équation, l'application, les coordonnées, les transformées de deux courbes homothétiques.
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[ Baccalauréat Tahiti septembre 1967 \

SÉRIES MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES ET MATHÉMATIQUES ET TECHNIQUE

Exercice 1

Résoudre l’équation

1

2 Log|x −1|−Log|x +1| = 0.

Exercice 2

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé Ox y z, on considère le point A, de

coordonnées +1, −2, +2, et le vecteur −→ V , de composantes scalaires +3, +2, +1.

Écrire les coordonnées paramétriques d’un point M de la droite (D) menée par A et

parallèle à −→ V .

En déduire les coordonnées du point où la droite (D) perce le plan xOy . Calculer la distance de l’origine, O, à un point M quelconque de (D) ; en déduire la distance de O à la droite (D).

Exercice 3

On rappelle qu’une application A d’un ensemble E dans lui-même associe à tout x élément de E un élément de E appelé image de x. A est dite bijective ou biunivoque si tout élément de E est l’image d’un élément unique de E. Soit P un plan rapporté à un repère orthonormé x′Ox, y ′Oy et M un point de P de coordonnées x, y . On considère le cercle (C ) tangent en O à x′Ox et passant par M ; on désigne par M ′ le point diamétralement opposé à M sur le cercle (C ).

1. Montrer que les coordonnées, x′ et y ′, de M ′, quand M ′ existe, sont données par

x′ =−x, y ′ = x2

y

On désigne par Π l’ensemble des points de P non situés sur les axes. Montrer que la transformation θ qui, à M , associe M ′ [M ′ = θ(M)] est une application bijective de Π sur lui-même. θ est-elle involutive ?

2. On désigne par H une homothétie de centre O et de rapport k, par S la symé- trie par rapport à x′Ox, par T la symétrie par rapport à y ′Oy .

Montrer que les produits θH , θS et θT sont commutatifs (on pourra faire un raisonnement analytique ou un raisonnement géométrique).

3. Si (C ) est une courbe de Π, lieu d’un point M , l’ensemble des transformés

M ′ = θ(M) est une courbe, notée (

C ′ )

, et appelée transformée de (C ) par θ.

Que peut-on dire des transformées de deux courbes homothétiques par rap- port à O ?

Si (C ) admet x′Ox comme axe de symétrie, quelle propriété possède (

C ′ )

?

4. On donne une droite (D) et l’on se propose d’étudier la transformée (

∆ ′ )

de (∆) =Π∩ (D).

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. Déterminer (

∆ ′ )

si (D) est parallèle à x′Ox ou si (D) passe par l’origine O.

b. Déterminer (

∆ ′ )

si (D) est parallèle à y ′Oy .

Soit P la parabole d’équation, y = x2

2p ; quelle est la transformée deΠ∩P ?

c. (D) a pour équation y = a(x +b), ab 6= 0.

Déterminer (

∆ ′ )

par son équation et construire (

∆ ′ )

. (

∆ ′ )

admet une asymp- tote oblique, que l’on demande de construire à partir de (D).

5. On considère un point M0 (

x0 ; y0 )

et son transformé par θ, M ′0 (

x0 ; y0 )

; soit M un point de coordonnées x0 +h ; y0 +k, qui a pour transformé M ′ dont les coordonnées sont désignées par x′0 +H et y

′ 0 +K .

Calculer K

H en fonction de x0, y0,h,k.

En déduire que, si une courbe passant par M0 a, en ce point, une tangente, la courbe transformée a, au point M ′0, une tangente, dont la pente dépend de celle de la tangente en M0.

NOTA - Les questions 4 et 5 peuvent être traitées indépendamment des questions 2 et 3.

Tahiti 2 septembre 1967

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