Travaux pratiques d'algèbre - mathématiques élémentaires 16, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Travaux pratiques d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 16. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le tableau des diviseurs, les constantes indépendantes, l’hyperbole.
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[ Toulouse juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

1. Former le tableau des diviseurs du nombre 504.

2. Montrer qu’il existe un nombre inférieur à 504 et possédant autant de divi-

seurs que 504.

3. Déterminer un entier naturel n de telle manière que les racines de l’équation

x2−2nx +504 = 0 soient des entiers naturels.

(On ne demande qu’un seul entier n répondant à la question.)

EXERCICE 2

Les coordonnées d’un point M sont données, dans un repère orthonormé, en fonc-

tion du temps, t , par

x = t +2a e2t

e2t +1 −b

e2t −1

e2t +1

y = a e2t −1

e2t +1 +2b

e2t

e2t +1

,

a et b sont deux constantes indépendantes de t .

1. Trouver les composantes du vecteur vitesse de M à l’instant t .

2. Calculer a et b pour que le vecteur vitesse du point M soit nul à un instant

donné t0.

EXERCICE 3

Soit (H) l’hyperbole dont l’équation, par rapport à un repère orthonormé (Ox,Oy),

est

y = 1

x

A, B, M sont les points de (H) d’abscisses respectives a,−a,λ ; on suppose a positif.

1. Comparer les angles de droites (Ox, AM) et (Ox, BM).

En déduire, lorsque A, M , B sont distincts, la direction des bissectrices de

l’angle de droites (MB, MA).

∆ étant la tangente en A à (H), quelles sont les bissectrices de l’angle (∆, AB) ?

2. Calculer la tangente, z, de l’angle de droites (MB, MA) en fonction de a et λ ;

étudier les variations de z quand, a étant fixe, λ varie.

Soit ϕ un nombre donné ; montrer qu’il existe en général deux points, M1 et

M2 de (H), distincts de A et B, tels que

(M1B, M1A)= (M2B, M2A)=ϕ (mod.π).

Comparer alors les directions de AM1 et AM2 ?

Peut-on choisir a pour que, quel que soit ϕ, l’on ait OM1 = OM2 ?

3. On suppose désormais que a = 1, λ quelconque.

La droite BM coupe le cercle de diamètre AB en M ′ et la tangente en A à (H)

en T .

Montrer, par exemple en utilisant les résultats de la question 1, que la division

(B, T,M ,M ′) est harmonique.

Le baccalauréat de 1967 A. P. M. E. P.

4. A et B sont encore les points de (H) d’abscisses respectives +1 et −1 ; ∆ est la

tangente en A à (H).

Soit T la transformation ponctuelle plane qui, au point P , associe le point P

tel que :

– B, P,P ′ soient alignés,

– les droites AP et AP ′ soient symétriques par rapport à ∆.

Montrer que, si BP coupe ∆ en R, la division (B, R,P,P ′) est harmonique.

La transformation T est-elle définie pour tous les points du plan ?

Quel est le transformé du point P ′ par T ?

Quelle est l’image par T de la droite ∆ ?

Dans un repère orthonormé (OX , OY ) tel que −−→

OA soit le vecteur unitaire de

OX , écrire les coordonnées (

X ′ ; Y ′ )

du point P ′ en fonction des coordonnées

(X ; Y ) du point P . Quelle est l’image par T de la droite d’équation

uX + vY +h = 0?

Que peut-on dire de la tangente en M à l’hyperbole (H) et de la tangente en

M ′ au cercle de diamètre AB ? (M et M ′ sont les points définis dans la question

3.)

Toulouse 2 juin 1967

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