Travaux pratiques d'algèbre - mathématiques élémentaires 2, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Travaux pratiques d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le module du nombre complexe, les variations de la fonction f, Le plan, les coordonnées.
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[ Nancy juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

Soit θ un nombre réel tel que 06 θ <π. On considère le nombre complexe

z = cos2θ+ i sin2θ.

Calculer, selon la valeur de θ, le module du nombre complexe

w = (1+ i)z + i p 2.

EXERCICE 2

1. Étudier les variations de la fonction f qui, à tout x réel tel que −26 x 6 1, fait correspondre

f (x)= x2ex .

Construire le graphe (Γ) de f dans un repère orthonormé. On prendra l’unité de longueur égale à 5 cm.

2. Déterminer les constantes réelles a,b,c de sorte que F (x) = (

ax2+bx +c )

ex

ait pour dérivée f (x).

Calculer l’aire du domaine limité par (Γ), l’axe des x et les droites d’équations x =−2 et x = 1.

EXERCICE 3

Le plan est rapporté à un système d’axes orthonormé, Ox, Oy . On désigne par T la transformation ponctuelle dans laquelle le point M de coordonnées (x ; y) a pour image le point M ′ de coordonnées (x′ ; y ′) définies par les formules

{

x′ = 2x +3y ; y ′ = x +2y.

1. m étant un nombre réel, soit (Dm) la droite d’équation y = mx. Montrer que T transforme (Dm ) en une droite

(

D m )

passant par O, dont on donnera la pente

en fonction de m. Quelle est la droite (

D m )

quand m =− 2

3 ?

2. a. Déterminer la droite (∆) issue de O qui est transformée par T en une droite perpendiculaire à (∆).

b. Si M est sur (∆), M ′ se déduit de M par une symétrie par rapport à une droite, qu’on déterminera.

3. a. Trouver les deux valeurs de m telles que (Dm) coïncide avec sa transfor- mée,

(

D m )

.

L’une des droites (Dm) ainsi obtenues est de pente positive ; soit (∆)1) cette droite. L’autre sera notée (∆)2).

b. Si M est sur (∆)1), montrer que M ′ se déduit de M par une homothétie de centre O, dont on déterminera le rapport, k1.

Étudier la même question pour (∆)2).

4. a. Soit à nouveau M un point quelconque du plan, de coordonnées (x ; y), et soit M ′, de coordonnées (x′ ; y ′), son image par T .

Calculer x′2−3y ′2 en fonction de x et y .

Le baccalauréat de 1967 A. P. M. E. P.

b. On désigne par (H) la courbe d’équation x2−3y2 = 1. Quelle est la na- ture de cette courbe ? Quelles sont ses asymptotes ? Quelle est la courbe transformée de (H) par T ?

c. Soit P lemilieu du segment M M ′, où M ′ est le transformé de M par T . En fonction des coordonnées (x ; y) de M , calculer les coordonnées (X ; Y ) de P , puis la quantité X2−3Y 2.

d. Trouver la courbe (C ) décrite par P quand M parcourt (H).

La courbe (C ) se déduit de (H) par une transformation simple, qu’on pré- cisera.

Nancy 2 juin 1967

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