Travaux pratiques d'algèbre - mathématiques élémentaires 5, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Travaux pratiques d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Démonstration de l’égalité, le polynôme, les variations des fonctions.
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[ Orléans juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

Démontrer l’égalité

cotg x −2cotg2x = tg x pour x 6=

2 .

En déduire une expression simple de

S = tg x + 1

2 tg

x

2 + 1

4 tg

x

4 + . . .+

1

2n tg

x

2n .

EXERCICE 2

Déterminer le coefficient a pour que le polynôme

P (x)= x3+ax2+ x +6

soit divisible par x −2. Résoudre l’équation (Log désignant le logarithme népérien)

3Log (x −1)= Log (

x2+2x −7 )

.

EXERCICE 3

Soit un repère orthonorméωX , ωY . Les points A et B ont pour coordonnées respec- tives (a ; 0) et (−a ; 0), a étant une longueur donnée. L’axe w Z est tel que

(

−−→ ωX ,

−−→ ωZ

)

= θ, 06 θ <π.

Le point M de l’axe ωZ est repéré par ωM = x.

1. a. Exprimer en fonction de x et θ le rapport

y = MA2

MB2 soit y = (x).

Étudier les variations des fonctions , en discutant suivant les valeurs de θ.

b. Tracer le graphique de , dans un repère orthonormé Ox,Oy , pour

θ = 0, θ = π

3 , θ =

π

2 , θ =

2π

3 .

2. Déduire de 1 a que, pour θ fixé, il existe en général un ensemble (K), que l’on précisera, de valeurs de k tel que, à toute valeur k de (K) correspondent deux

points M , soit Ml et M2 deωZ , vérifiant MA

MB = k.

3. Refaire géométriquement l’étude de la question 2, en discutant l’intersection

de l’axe ωZ et du cercle (Ck ), ensemble des points M tels que MA

MB = k.

4. a. À tout point M1 du plan, situé en dehors deωY , correspond le point, M2 où ωM1 recoupe le cercle (Ck ) passant par M1.

Montrer que M2 est le transformé de M1 par une inversion T , dont on précisera le cercle d’inversion.

Le baccalauréat de 1967 A. P. M. E. P.

b. Soit un point M1 du plan, distinct deω, et M2 son transformé par T . Soit M ′1 et M

′ 2 les transformés respectifs de M1 et M2 par l’inversion (I ) de

pôle A et de puissance 2a2 ?

Par quelle transformation ponctuelle M ′1 et M ′ 2 se correspondent-ils ?

On pourra considérer le faisceau de cercles de points de base M1 et M2 et son transformé par (I ).

c. Soit (S) la symétrie par rapport à ωY . On désigne par (H) = (S) ◦ (T ) la transformation ponctuelle obtenue par composition des applications (T ) et (S), dans cet ordre.

Conserve-t-elle les angles ? Est-elle involutive ?

d. Soit M3 le transformé de M1 par (H) et M ′3 le transformé de M3 par (I ). Indiquer une forme réduite de la transformation qui à M ′1 fait corres- pondre M ′3.

Orléans 2 juin 1967

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