Travaux pratiques d'algèbre - mathématiques élémentaires 8, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

Travaux pratiques d'algèbre - mathématiques élémentaires 8, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Travaux pratiques d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les variations de la fonction, les deux entiers naturels, la projection orthogonale de F.
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[ Pondichéry juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

1. Étudier les variations de la fonctionqui, à la variable réelle x, associe le nombre réel

y = x2−2x−3

(x−1)2 .

Construire la courbe représentative, (Γ), dans un plan rapporté à un repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy , l’unité de longueur étant égale à 1 cm.

2. Calculer l’aire du domaine limité par la courbe (Γ), l’axe x′Ox et les droites d’équations x = 3 et x = 5.

EXERCICE 2

Déterminer deux entiers naturels ayant pour somme 240 et pour P.P.C.M. 504.

EXERCICE 3

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé, d’axes x′Ox, y ′Oy , on considère les points F(a ; 0), F′(−a ; 0), B(4a ; 0) et le cercle (C) de centre O et de rayon 2a, a étant un nombre réel positif.

1. Le point M0 (

x0 ; y0 )

étant un point donné du plan, on considère le cercle (Γ) de diamètre FM0.

Écrire les équations des cercles (C) et (Γ) et montrer que l’équation de l’axe radical, (∆), de ces deux cercles est

(x0+a)x+ y0y a (x0+4a)= 0.

Montrer que la droite (∆) est sécante au cercle (C) à la condition nécessaire et suffisante que le point M0 soit extérieur à un ellipse, (E), que l’on déterminera par son équation.

Si M0 est en B, que peut-on dire du cercle (C) et du cercle (Γ) correspondant ?

2. On suppose, dans toute la suite du problème, que le point M0 est variable sur la

droite (D) passant par B et de coefficient directeur égal à 1.

Démontrer que, lorsqueM0 décrit la droite (D), la droite (∆) passe par unpoint fixe, I, dont on déterminera les coordonnées. On donnera une solution analy- tique et une solution géométrique.

3. Soit M1 la projection orthogonale de F sur (∆).

Quel est, quand M0 varie sur (D), l’ensemble des points M1 ? Démontrer que

les vecteurs −−−−→

F′M0 et −−−→

FM1 sont parallèles et que le produit −−−−→

F′M0 · −−−→

FM1 est constant.

En déduire que la transformation ponctuelle qui, à tout point M0, associe le point M1 est le produit d’une inversion de pôle F′ et d’une translation.

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