Travaux pratiques d'algèbre - mathématiques élémentaires 9, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

Travaux pratiques d'algèbre - mathématiques élémentaires 9, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Travaux pratiques d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction définie, les équations des deux cercles.
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[ Reims juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires et

mathématiques et technique

EXERCICE 1

Soit f la fonction définie, pour x réel, par

x 7−→ y = f (x)= x3.

En appliquant à f le théorème des accroissements finis (qu’on rappellera sans le démontrer) entre deux valeurs, a et b, distinctes et positives, de la variable, établir qu’il existe, entre ces deux valeurs, un seul nombre, c, tel que f ′(c)= a2+ab +b2.

Montrer que ce nombre c est strictement compris entre a +b

2 et b (en supposant

b > a).

EXERCICE 2

Sachant que LogX

X a pour limite zéro quand X →+∞ (résultat du cours, concernant

le logarithme népérien, qu’on ne démontrera pas ici), en déduire que :

1. xLog x tend vers zéro quand x tend vers zéro par valeurs positives ;

2. xex tend vers zéro quand x →−∞.

EXERCICE 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé Ox, Oy . Soit C le point d’abscisse +3 sur Ox. On considère le cercle (O), de centre O et de rayon 4, ainsi que le cercle (C), de centre C et de rayon 2. Ces deux cercles se coupent en A et B ; on appelle I le milieu de OC et K le milieu de AB.

1. a. Calculer IK sans utiliser les équations des deux cercles.

b. Écrire les équations des deux cercles et calculer les coordonnées de A et de B. Vérifier la valeur de IK.

2. Soit M un point du plan, de coordonnées x et y .

On appelle M(O) et M(C) les puissances respectives de M par rapport aux cercles (O) et (C).

a. Exprimer en fonction de x et y le rapport u = M(O)

M(C) .

b. En déduire l’ensemble des points M tels que u = 2.

Préciser les éléments géométriques de cet ensemble ; les points A et B en font-ils partie ?

3. On suppose que M décrit l’axe Ox ; u = M(O)

M(C) est alors fonction de x seul.

Étudier les variations de la fonction qui, à la variable x réelle, fait correspondre u.

Construire le graphique cartésien de cette fonction, dans le repère Ox, Oy (les valeurs de u étant prises comme ordonnées), en figurant en même temps les cercles (O) et (C).

Préciser le point où ce graphique coupe son asymptote parallèle à Ox et ex- pliquer les particularités de la figure constituée par ce graphique et les deux cercles.

Le baccalauréat de 1967 A. P. M. E. P.

4. M est encore sur l’axe Ox.

a. Pour quelles valeurs entières de x a-t-on u entier (il s’agit d’entiers re- latifs, et l’on traitera cette question sans utiliser le graphique précédent, c’est-à-dire à l’aide de méthodes purement arithmétiques) ?

b. Déterminer le plus petit entier positif n tel que, pour tout x supérieur ou égal à n, on ait u < 2.

Reims 2 juin 1967

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