Travaux pratiques de géométrie 1, Exercices de Géométrie Algorithmique

Travaux pratiques de géométrie 1, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Travaux pratiques de géométrie 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les variations de l’application, la fonction dérivée, le système libre.
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[ Baccalauréat C Rennes septembre 1976 \

EXERCICE 1

1. Étudier les variations de l’application f de R dans R définie par :

f (x)= ex −e−x .

2. Montrer que f admet une fonction réciproque f −1 définie sur R. Écrire l’ex- pression de f −1 (on pourra effectuer le changement de variable défini par ex = X ).

3. Déterminer la fonction dérivée de f −1 et calculer l’intégrale

x

0

1 p

t2+4 dt .

EXERCICE 2

Soit A l’espace vectoriel sur R des applications de [O ; 2[ dans R. f1, f2, f3, f4 les éléments de A définis par :

f1(x) = 1− x f2(x) = |1− x| f3(x) = E(x) f4(x) = x .E(x)

E (x) désignant la partie entière de x.

1. Montrer que (

f1, f2, f3 ) est un système libre.

2. Montrer que f4 appartient au sous-espace vectoriel engendré par f1, f2, f3 et calculer les composantes de f4 dans la base

( f1, f2, f3

) .

PROBLÈME

Le plan affine euclidien E étant rapporté à un repère orthonormé ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

À tout point M de E de coordonnées (x ; y) on associe le nombre complexe z affixe de M .

Partie A

1. Soient deux points M1 d’affixe z1 et M2 d’affixe z2 ; montrer que M1 et M2 appartiennent à la même demi droite d’origine O si et seulement si

|z1+ z2| = |z1|+ |z2|

(on pourra par exemple écrire z1 et z2 sous forme trigonométrique).

2. En déduire que trois points M1 d’affixe z1, M2 d’affixe z2 et M3 d’affixe z3 sont sur la même demi droite d’origine O si et seulement si :

|z1+ z2+ z ◦3| = |z1|+ |z2|+ |z3|

Partie B

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

Soient A1, A2 et A3 trois points dont les affixes a1, a2, a3 vérifient :

|a1| = |a2| = |a3| = 1

Montrer que A1, A2 et A3 sont les sommets d’un triangle équilatéral de centre O si et seulement si a1+ a2+ a3 = 0. (On pourra considérer l’isobarycentre des points A1, A2 et A3).

Partie C

Soient B1, B2 et B3 trois points dont les affixes b1,b2,b3 vérifient b1

|b1| +

b2

|b2| +

b3

|b3| = 0.

On pose α1 = b1

|b1| , α2 =

b2

|b2| , α3 =

b3

|b3| .

1. Montrer que le nombre S = α1 (z b1)+α2 (z b2)+α3 (z b3) est indépen- dant de z. Calculer |S| et en déduire que :

z ∈C, |b1|+ |b2|+ |b3|6 |z b1|+ |z b2|+ |z b3|

2. Montrer que pour que l’affixe z d’un point M vérifie la relation

(1) |z b1|+ |z b2|+ |z b3| = |b1|+ |b2|+ |b3|

il faut et il suffit que les trois angles de vecteurs

á(−−−→ OB1 ,

−−−→ B1M

) ,

á(−−−→ OB2 ,

−−−→ B2M

) ,

á(−−−→ OB3 ,

−−−→ B3M

)

soient égaux.

Quel est l’ensemble des points M dont l’affixe z vérifie (1) ?

3. Soient MB1, MB2, MB3 les distances respectives de M aux points B1, B2 et B3. On pose S(M)= MB1+MB2+MB3. Démontrer que l’ensemble des réels S(M) pour M appartenant à E a un plus petit élément.

Partie D

Soit ABC un triangle dont chaque angle géométrique a une mesure en radians infé-

rieure à 2π

3 .

Déterminer par une construction géométrique simple le point M qui réalise le mi- nimum de MA + MB + MC.

Rennes 2 septembre 1976

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