Travaux pratiques de gèométrie 1, Exercices de Géométrie analytique et calcul. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Travaux pratiques de gèométrie 1 sur la valeur de l’entier naturel n. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L’unité de temps est la seconde, l’unité de longueur est le centimètre.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Aix-Marseille juin 1972 \

EXERCICE 1 5 points

Étudier, suivant la valeur de l’entier naturel n, le reste de la division euclidienne par 6 du nombre 5n . Pour quelles valeurs de n le nombre A = 5n +5n+1 est-il divisible par 6 ?

EXERCICE 2 5 points

L’unité de temps est la seconde, l’unité de longueur est le centimètre.

Un point M se déplace dans le plan rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

de

façon que, à tout instant t > 0, les coordonnées de son vecteur vitesse, −→ V , soit

x′ = 3

2

p t et y ′ =

9

2

ln t

t .

À l’instant t = 1, le point M est en A(1 ; 0). Calculer les coordonnées, x et y , de M , en fonction de t . Former l’équation cartésienne de sa trajectoire et construire cette trajectoire.

PROBLÈME 10 points

À chaque couple de réels (λ ; µ) on associe l’application f , de R dans R, telle que

f (x)= (λcosx+µsinx)ex .

On désigne ainsi par (F ) l’ensemble des fonctions numériques ainsi définies.

1. Soit (C ) l’ensemble des applications continues, de R dans R ; on sait que (C ), muni des deux opérations, addition des fonctions et multiplication de fonc- tions par les réels, est un espace vectoriel sur R.

a. Montrer que (F ) est un sous-espace vectoriel de (C ).

b. Démontrer que f est la fonction nulle si, et seulement si, λ=µ= 0. Démontrer que les deux fonctions E1 et E2 de (F ) définies par E1(x) = ex cosx et E2(x)= ex sinx constituent une base de l’espace vectoriel (F ).

2. On sait que toutes les fonctions de (F ) sont dérivables sur R ;

a. Soit f une fonction de (F ) ; démontrer que sa fonction dérivée f ′ appar- tient aussi à (F ).

SoitD l’application, de (F ) dans lui-même, qui, à chaque élément, f , de (F ), fait correspondre sa fonction dérivée.

Démontrer queD est une application linéaire. Quelle est la matrice deD dans la base (E1, E2) ?

b. Démontrer que D admet une application réciproque. En déduire que tout élément f de (F ) a une de ses primitives qui appartient à (F ).

Application : Calculer

π

0 (λcosx+µsinx)ex dx.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. Expliquer sans calcul, pourquoi, étant donné f , élément de (F ), sa fonction dérivée première f ′ et sa fonction dérivée seconde f ′′, il existe des nombres réels α, β et γ non tous nuls, tels que

x ∈R :α f ′′(x)+β f ′(x)+γ f (x)= 0.

Démontrer que l’on peut choisir α, β et γ, non tous nuls et indépendants de f de telle sorte que

f ∈ (F ), ∀x ∈R : α f ′′(x)+β f ′(x)+γ f (x)= 0.

4. On considère un plan affine euclidien (P) rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. À chaque fonction g , g : x 7−→ (a cosx+b sinx)ex de (F ) on fait correspondre le point de (P) de coordonnées (a ; b). Ainsi, si M(λ ; µ) est le point de (P) correspondant à la fonction f : x 7−→ (λcosx+µsinx)ex de (F ), on note M ′ le point de (P) associé à la fonction dérivée f ′ de f .

Caractériser la transformation T de (P) qui, à tout point M , associe le point M ′.

Aix-Marseille 2 juin 1972

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