Travaux pratiques de géométrie 10, Exercices de Géométrie analytique et calcul

Travaux pratiques de géométrie 10, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Travaux pratiques de géométrie 10 sur la fonction numérique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les variations de la fonction, la composée d’une projection et d’une homothétie, les coordonnées.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Clermont-Ferrand juin 1972 \

EXERCICE 1

Étudier la fonction numérique, de la variable réelle x, définie par

f (x)= x− 1

2 Log

∣2ex −1 ∣

∣ .

On pourra écrire

2ex −1= 2ex (

1− 1

2 e−x

)

.

Construire, dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé, la courbe re- présentant les variations de cette fonction (on tracera les asymptotes de cette courbe).

EXERCICE 2

À chaque nombre complexe z = x + iy (x ∈ R et y ∈ R) on associe le point M(z) de coordonnées (x ; y) dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

d’axes x′Ox et y ′Oy .

Trouver l’équation de l’ensemble, E, des points M(z) tels que les points

M(z), M ′ (

z2 )

et M ′′ (

z5 )

soient alignés. Étudier et dessiner l’ensemble E.

PROBLÈME

Le plan affine, P , est rapporté au repère cartésien (

O, −→ ı ,

−→

)

d’axes x′Ox et y ′Oy .

Le nombre λ étant un réel donné, on considère l’application qui au point m de coordonnées (x ; y) fait correspondre le point M dont les coordonnées (X ; Y ) sont

X = x+ (λ−1)y et Y = 2x+ (λ−2)y.

Partie A

1. Déterminer les valeurs de λ pour lesquelles est bijective.

Déterminer, quand elle existe, f −1 λ

, application réciproque de , en donnant les coordonnées dem en fonction de celles deM .

Existe-t-il des valeurs de λ pour lesquelles est involutive ?

Déterminer, suivant les valeurs de λ, l’ensemble des points invariants par

2. Quelle est la nature géométrique de f1 ?

3. Dans cette question on étudie f0.

Déterminer l’ensemble, (∆), des points M de P , tels qu’il existe au moins un pointm tel que f0(m)=M ∈ (∆).

Un point M de (∆) étant fixé, déterminer l’ensemble des points m tels que f0(m)=M .

Montrer que f0 est la composée d’une projection et d’une homothétie, que l’on déterminera .

Partie B

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

On pose f 2 λ = et, pour tout entier n supérieur à 2, f

n λ = f

n−1 λ

.

1. k étant un nombre réel donné, quel est l’ensemble des transformés par f n λ des

points de la droite (Dk ) d’équation y = x+k ?

2. Soit A0 le point de coordonnées (1 ; 0). On pose A1 = (A0) et, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, An = f nλ (A0).

Montrer, par récurrence, que les coordonnées (

xn ; yn )

de An sont, pour tout entier naturel non nul n, de la forme

xn = 2un (λ)+ (−1) n et yn = 2un (λ),

un (λ) étant un polynôme en λ de degré (n−1).

Préciser la relation qui existe entre un (λ) et un+1(λ).

En déduire que, si λ 6= −1, un (λ)= λn − (−1)n

λ+1 .

Étudier le cas où λ=−1.

Clermont-Ferrand 2 juin 1972

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