Travaux pratiques de géométrie 2, Exercices de Géométrie analytique et calcul

Travaux pratiques de géométrie 2, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Travaux pratiques de géométrie 2 sur l'espace vectoriel réel. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’application de R dans R, le repère orthonormé, la suite.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Montréal et New York \ juin 1972

EXERCICE 1

Soit (E) un espace vectoriel réel de dimension trois dont (

−→

ı , −→

, −→

k )

est une base. On

considère l’endomorphisme f de (E) défini par 

f (

−→

ı )

= −

−→

ı +2 −→

k

f (

−→

)

=

−→

+2 −→

k ,

f (

−→

k )

= 2 −→

ı +2 −→

.

Démontrer que le noyau de f est une droite vectorielle (E1) de (E). Donner une base {

−→

e1

}

de (E1).

Démontrer que l’image de f est un plan vectoriel (E2) de (E). Déterminer une base {

−→

e1 , −→

e2 , −→

e3

}

de (E) telle que {

−→

e2 , −→

e3

}

soit une base de (E2).

EXERCICE 2

Soit f l’application de R dans R définie par

f (x)= 1−ex

1+ex .

Étudier les variations de f et construire sa représentation graphique. Quelle est l’image R′ de R par l’application f ? Démontrer que l’application g de R dans R′ définie par g (x)= f (x) est bijective. Soit h = g−1 l’application réciproque. Calculer h(x).

PROBLÈME

On considère un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

d’axes Ox et Oy .

1. a. On désigne par H l’homothétie de centre A, de coordonnées (a ; 0), et de rapport k > 0. Soit M un point du plan, d’affixe z = x + iy . On note M1 =H (M).

Donner l’expression de z1 affixe deM1, en fonction de z,a et k.

b. On désigne par R la rotation de centre O et d’angle θ. On appelle u le nombre complexe de module 1 et d’argument θ.

Soit T =R ◦H . On note M ′ =T (M). Soit z ′ = x′+ iy ′ l’affixe deM ′.

Démontrer que z ′ = kuz+au(1−k). Indiquer la nature de la transforma- tion T .

Déterminer l’affixe de son point invariant, I, lorsqueT n’est pas la trans- formation identique.

2. On suppose dans la suite que u = i et a = 5.

Calculer les coordonnées (α ; β) du point I en fonction de k. Déterminer l’en- semble des points I lorsque k décrit l’ensemble des réels positifs.

(On remarquera que α= = 0.)

Déterminer les points I dont les deux coordonnées sont des entiers relatifs.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. On suppose maintenant u = i , a = 5 et k = 3.

Calculer les coordonnées du point M ′ en fonction des coordonnées deM .

Soit P le point de coordonnées (3 ; 2). Déterminer l’ensemble des pointsM tels que les trois points M ,M ′ et P soient alignés.

Montréal et New York 2 juin 1972

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