Travaux pratiques de géométrie 3, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Travaux pratiques de géométrie 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’espérance et la variance de X, la suite numérique.
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[ Baccalauréat C Rouen septembre 1976 \

EXERCICE 1

On dispose d’un sac contenant 4 boules noires et 4 boules blanches, toutes iden- tiques au toucher. On tire au hasard et sans remise, et l’on s’arrête dès que l’on a obtenu une boule blanche. Le nombre de boules noires que l’on a du tirer est une variable aléatoire X. On demande d’établir la loi de probabilité de X. Quelle est la probabilité pour que le nombre de boules noires que l’on a du tirer soit inférieur ou égal à 2 ? Calculer l’espérance et la variance de X,

EXERCICE 2

Dans le plan affineP rapporté à un repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, on donne l’application affine

f , qui au point M(x ; y) fait correspondre le point M ′ (

x′ ; y ′ )

tel que

{

x′ = x+4 y ′ = −xy −2

1. Montrer que l’endomorphisme ϕ associé à f est involutif et déterminer cet endomorphisme.

2. f est-elle bijective ? f est-elle involutive ? f admet-elle des points invariants ?

3. Montrer qu’il existe une droite du plan affine globalement invariante par f .

PROBLÈME

Partie A

Une suite numérique (Un) est définie par son premier terme U1 et la relation de récurrence

Un+1 = 6+Un 2+Un

1. Montrer qu’il existe deux valeurs a et b deU1 (a < b) pour lesquelles la suite est constante.

2. Montrer que siU1 6= a etU1 6= b, il en est demême deUn . Dans ces conditions, calculer :

Un+1−a

Un+1−b en fonction de

Un a

Un b

3. Endéduire que la suite (Vn) définie parVn = Un a

Un b est une suite géométrique.

Calculer la limite de |Vn | quand n tend vers plus l’infini ; en déduire celle de Un .

Partie B

On désigne par f , la fonction numérique de la variable réelle définie par

f (x)= x+6

x+2

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

1. Variations de f ; courbe représentative (C ) dans un repère orthonormé (unité le cm),

2. Retrouver à l’aide de la fonction f les réels a et b de la question 1. de A.

3. Déterminer l’équation de (C ) rapportée à ses asymptotes ; préciser la nature de (C ), ses sommets, ses foyers, ses directrices ainsi que l’excentricité.

4. Déterminer les points de (C ) dont les deux coordonnées sont des entiers rela- tifs.

5. Trouver l’aire A (λ) du domaine plan défini par :

λ6 x 6 0, 06 y 6 f (x) λsatisfaisant à −2<λ< 0.

A (λ) a-t-elle une limite quand λ tend vers −2 ?

Partie C

À tout nombre complexe z, on associe quand cela est possible le nombre complexe z ′ tel que

z ′ = z+6

z+2 .

On désigne dans le plan complexe, par M et M ′ les images de z et de z ′. On pose z = x+ iy et z ′ = x′+ iy ′ (x, y, x′, y ′ réels).

1. Calculer x′ et y ′ en fonction de x et y . Préciser l’ensemble des points M qui n’ont pas d’image.

2. Déterminer l’ensemble des points M du plan pour lesquels z ′ est un réel né- gatif.

3. Déterminer l’ensemble des points M du plan pour lesquels l’argument de z

est π

2 (mod 2).

4. Déterminer l’ensemble Ck des points M du plan pour lesquels M ′ décrit la

droiteDk d’équation y = k.

Reconnaître Ck . Montrer que lorsque k décrit R ⋆, Ck passe par un point fixe

et reste tangente à une droite fixe.

Rouen 2 septembre 1976

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