Travaux pratiques de géométrie 3, Exercices de Géométrie analytique et calcul

Travaux pratiques de géométrie 3, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Travaux pratiques de géométrie 3 sur Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’application, la fonction numérique d’une variable réelle, le domaine de définition.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Aix-Marseille juin 1972 \

EXERCICE 1 5 points

Soit l’application définie dans C par

z 7−→ z ′ = (

i− p 3 )

z +3+ p 3+ i

(

2 p 3+1

)

.

1. Caractériser géométriquement la transformation qui, à tout point M du plan complexe, d’affixe z, fait correspondre le point M ′ d’affixe z ′.

2. Le point M(x ; y) ayant pour homologue la point M ′ (

x′ ; y ′ )

, exprimer x′ et y

en fonction de x et de y .

3. Déterminer le transformé de la droite passant par le point A (

1−2 p 3 ; 0

)

et de

vecteur directeur −→ V

(p 3 ; 1

)

.

Justifier le résultat obtenu.

EXERCICE 2 5 points

Soit f la fonction numérique d’une variable réelle définie par

f (x)=

x2−1 ∣

2 .

1. a. Faire une étude détaillée de f : l’ensemble de définition, la continuité, la dérivabilité, et le tableau de variations.

b. Déterminer les tangentes à (C ) au point A(1 ; 0) et B(−1 ; 0).

c. Montrer que les droites (D1) et (D2) d’équations respectives y1 = 1

2 x et

y2 =− 1

2 x sont asymptotes à (C ).

2. a. Tracer (C ) ; en déduire l’ensemble, (Γ), des points M dont les coordon- nées x et y vérifient la relation

4y2 = ∣

x2−1 ∣

∣ .

b. Montrer que (Γ) est la réunion de deux coniques, dont on précisera la nature.

PROBLÈME 10 points

On considère la fonction numérique f d’une variable réelle définie par

f (x)= x log 2x −1

x ,

où logx désigne le logarithme népérien de x. On note (C ) la courbe représentative de f dans un système d’axes orthonormés (l’unité sur chaque axe est 2 cm).

1. a. Étudier le domaine de définition.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. Calculer les limites de f (x) aux bornes des intervalles du domaine de dé- finition. Pour étudier la limite de f (x), lorsque x tend vers 0, par valeurs négatives, on pourra poser −x = u.

2. Étudier les variations de la fonction dérivée, f ′ ; en déduire le signe de f ′(x).

3. a. Démontrer que la droite d’équation y = x log2− 1

2 est asymptote à la

courbe (C ).

Pour le calcul de lim x→+∞

(

xLog 2x −1

x xLog2

)

, on pourra poser 2x −1

x =

1+ν. b. On considère la fonction numérique g d’une variable réelle définie par

g (x)= Log x x +1. Étudier les variations de g ; en déduire que

x ∈]0 ; +∞[, Log x 6 x −1.

Utiliser ce résultat pour démontrer que

xLog 2x −1

x + 1

2 6 0, pour x >

1

2

et xLog 2x −1

x + 1

2 > 0, pour x < 0.

En déduire la position de la courbe par rapport à l’asymptote.

4. Donner le tableau de variation et tracer la courbe (C ).

5. Calculer, en utilisant l’intégration par parties, une primitive de f (x).

6. Calculer, en centimètres carrés, avec la précision permise par les tables de logarithmes, l’aire de la surface comprise entre la courbe (C ), l’asymptote oblique et les droites d’équations x = 1 et x = 3.

Aix-Marseille 2 juin 1972

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