Travaux pratiques de géométrie 4, Exercices de Géométrie Algorithmique

Travaux pratiques de géométrie 4, Exercices de Géométrie Algorithmique

PDF (35.3 KB)
2 pages
121Numéro de visites
Description
Travaux pratiques de géométrie 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la base de la fonction logarithme népérien, le corps C des nombres complexes.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
StrasbourgCjuin1976*.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Strasbourg juin 1976 \

EXERCICE 1

Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= 3− ∣

∣e4x −2e2x

(on désigne par e la base de la fonction logarithme népérien notée Log).

1. Résoudre dans R l’équation f (x)= 0. 2. Donner la définition de la dérivabilité en x0 d’une fonction numérique d’une

variable réelle.

Application : la fonction f est-elle dérivable en x0 = 1

2 Log2 ?

3. Étudier la fonction f et tracer sa courbe représentative.

EXERCICE 2

Résoudre dans le corps C des nombres complexes l’équation :

z+3z = (

2+ i p 3 )

. |z|

Représenter les images des solutions de cette équation dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé direct.

PROBLÈME

Soit P un plan vectoriel, I l’application identique de P etω l’application nulle de P.

I : P P −→ u 7−→ −→u

, ω : P P

−→ u 7−→ −→0

Préliminaires : Pour cette seule question P est euclidien orienté et muni d’une base

orthonormée directe (−→ ı ,

−→

)

.

Soit g la rotation vectorielle dont une mesure de l’angle est θ.

a. Écrire la matrice de g dans la base (−→ ı ,

−→

)

.

b. Démontrer que g g − (2cosθ)g + I=ω. On se propose d’étudier tous les endomorphismes f de P vérifiant :

f f − (2cosθ) f + I=ω (1)

θ est un réel donné de l’intervalle [0 ; 2π[. Soit f une solution de (1) .

1. Chercher le noyau de f et montrer que f est une application bijective de P dans P.

2. Démontrer que si f est involutive, alors f = (cosθ)I. En déduire les valeurs de θ pour lesquelles (1) admet des solutions involutives et donner ces solutions.

3. On suppose θ différent de 0 et deπ ? Soit −→ u un vecteur non nul de P et

−→ v défini

par :

−→ v =

1

sinθ

[

−(cosθ)−→u + f (−→ u

)]

(2)

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. Montrer que pour tout réel k, le noyau de f kI est égal à {−→ 0

}

.

En déduire qu’il n’existe pas de réel λ tel que −→ v = λ

−→ u et que

(−→ u ,

−→ v

)

est

une base de P.

b. En utilisant (2) déterminer la matrice de f dans la base (−→ u ,

−→ v

)

. Est-il

possible de conclure que f est une rotation vectorielle ?

c. Soitϕ l’application de P2 dansR, qui à tout couple (−→ w ,

−→ w

)

de P2 tel que

−→ w = x

−→ u + y

−→ v ,

−→ w ′ = x

−→ u + y

−→ v

associe le réel xx′+ y y ′. Démontrer que ϕ est un produit scalaire sur P.

Vérifier que pour ce produit scalaire, la base (−→ u ,

−→ v

)

est orthonormée.

P étant muni de ce produit scalaire et de la base (−→ u ,

−→ v

)

supposée di-

recte, quelle est la nature de f ?

4. On suppose θ = 0. a. Vérifier que (1) est alors équivalente à

( f − I)◦ ( f − I)=ω (3)

f étant une solution de (3), démontrer que le noyau de f − I n’est pas {−→ 0

}

.

b. −→ u étant un vecteur non nul du noyau de f − I, soit −→v un vecteur de P tel que

(−→ u ,

−→ v

)

soit une base de P. La matrice de f dans cette base est de la

fore

(

1 λ 0 µ

)

λ et µ sont des réels.

Montrer que µ= 1. c. Si f est solution de (3) différente de I vérifier que f −I = s ◦hp p est la

projection sur la droite vectorielle engendrée par −→ v de direction la droite

vectorielle engendrée par −→ u , h l’homothétie vectorielle de rapport λ et s

une symétrie vectorielle dont on déterminera les éléments.

d. On définit, pour tout entier naturel n, f n par

f 0 = I, f n = f n−1 ◦ f .

Déterminer la matrice de f n dans la base (−→ u ,

−→ v

)

.

N.B. - Les questions 1., 2., 3., 4. sont indépendantes entre elles et indépendantes des préliminaires.

Strasbourg 2 juin 1976

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document