Travaux pratiques de géométrie 4, Exercices de Géométrie Algorithmique

Travaux pratiques de géométrie 4, Exercices de Géométrie Algorithmique

PDF (35.3 KB)
2 pages
114Numéro de visites
Description
Travaux pratiques de géométrie 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la base de la fonction logarithme népérien, le corps C des nombres complexes.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
StrasbourgCjuin1976*.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Strasbourg juin 1976 \

EXERCICE 1

Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= 3− ∣

∣e4x −2e2x

(on désigne par e la base de la fonction logarithme népérien notée Log).

1. Résoudre dans R l’équation f (x)= 0. 2. Donner la définition de la dérivabilité en x0 d’une fonction numérique d’une

variable réelle.

Application : la fonction f est-elle dérivable en x0 = 1

2 Log2 ?

3. Étudier la fonction f et tracer sa courbe représentative.

EXERCICE 2

Résoudre dans le corps C des nombres complexes l’équation :

z+3z = (

2+ i p 3 )

. |z|

Représenter les images des solutions de cette équation dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé direct.

PROBLÈME

Soit P un plan vectoriel, I l’application identique de P etω l’application nulle de P.

I : P P −→ u 7−→ −→u

, ω : P P

−→ u 7−→ −→0

Préliminaires : Pour cette seule question P est euclidien orienté et muni d’une base

orthonormée directe (−→ ı ,

−→

)

.

Soit g la rotation vectorielle dont une mesure de l’angle est θ.

a. Écrire la matrice de g dans la base (−→ ı ,

−→

)

.

b. Démontrer que g g − (2cosθ)g + I=ω. On se propose d’étudier tous les endomorphismes f de P vérifiant :

f f − (2cosθ) f + I=ω (1)

θ est un réel donné de l’intervalle [0 ; 2π[. Soit f une solution de (1) .

1. Chercher le noyau de f et montrer que f est une application bijective de P dans P.

2. Démontrer que si f est involutive, alors f = (cosθ)I. En déduire les valeurs de θ pour lesquelles (1) admet des solutions involutives et donner ces solutions.

3. On suppose θ différent de 0 et deπ ? Soit −→ u un vecteur non nul de P et

−→ v défini

par :

−→ v =

1

sinθ

[

−(cosθ)−→u + f (−→ u

)]

(2)

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. Montrer que pour tout réel k, le noyau de f kI est égal à {−→ 0

}

.

En déduire qu’il n’existe pas de réel λ tel que −→ v = λ

−→ u et que

(−→ u ,

−→ v

)

est

une base de P.

b. En utilisant (2) déterminer la matrice de f dans la base (−→ u ,

−→ v

)

. Est-il

possible de conclure que f est une rotation vectorielle ?

c. Soitϕ l’application de P2 dansR, qui à tout couple (−→ w ,

−→ w

)

de P2 tel que

−→ w = x

−→ u + y

−→ v ,

−→ w ′ = x

−→ u + y

−→ v

associe le réel xx′+ y y ′. Démontrer que ϕ est un produit scalaire sur P.

Vérifier que pour ce produit scalaire, la base (−→ u ,

−→ v

)

est orthonormée.

P étant muni de ce produit scalaire et de la base (−→ u ,

−→ v

)

supposée di-

recte, quelle est la nature de f ?

4. On suppose θ = 0. a. Vérifier que (1) est alors équivalente à

( f − I)◦ ( f − I)=ω (3)

f étant une solution de (3), démontrer que le noyau de f − I n’est pas {−→ 0

}

.

b. −→ u étant un vecteur non nul du noyau de f − I, soit −→v un vecteur de P tel que

(−→ u ,

−→ v

)

soit une base de P. La matrice de f dans cette base est de la

fore

(

1 λ 0 µ

)

λ et µ sont des réels.

Montrer que µ= 1. c. Si f est solution de (3) différente de I vérifier que f −I = s ◦hp p est la

projection sur la droite vectorielle engendrée par −→ v de direction la droite

vectorielle engendrée par −→ u , h l’homothétie vectorielle de rapport λ et s

une symétrie vectorielle dont on déterminera les éléments.

d. On définit, pour tout entier naturel n, f n par

f 0 = I, f n = f n−1 ◦ f .

Déterminer la matrice de f n dans la base (−→ u ,

−→ v

)

.

N.B. - Les questions 1., 2., 3., 4. sont indépendantes entre elles et indépendantes des préliminaires.

Strasbourg 2 juin 1976

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome