Travaux pratiques de géométrie 5, Exercices de Géométrie Algorithmique

Travaux pratiques de géométrie 5, Exercices de Géométrie Algorithmique

PDF (41.5 KB)
2 pages
71Numéro de visites
Description
Travaux pratiques de géométrie 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le triangle équilatéral, l’ensemble des suites.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
TelAvivCjuin1976*.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Tel Aviv juin 1976 \

EXERCICE 1

F désigne l’ensemble Z/7Z= {0̇, 1̇, 2̇, 3̇, 4̇, 5̇, 6̇}. Déterminer (α ; β) ∈ F 2 de façon qu’il existe (a, b, c) ∈ F 3 tel que

x F, 1̇x4+ 3̇x3+ 5̇x2+αx+β= (

ax2+bx+c )2 .

EXERCICE 2

Dans un plan affine euclidien, on donne une droite D et deux points distincts F et A, symétriques par rapport à D. On désigne par H l’hyperbole d’excentricité 2 qui admet F pour foyer et D pour directrice associée à F.

1. Montrer que A est un sommet deH . Déterminer l’autre sommet A′ et le centre

Ω, en calculant AA′

AF et

AΩ

AF . Construire H .

2. Soit C un cercle centré en un point O de D, et passant par F.

On se propose de montrer que : C H = {A, M1, M2, M3} où M1, M2, M3 sont les sommets d’un triangle équilatéral.

On rapporte le plan à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, choisi de façon que (

O ; −→ ı

)

soit un repère deD. À chaquepoint duplan correspond ainsi son affixe

z = x+ iy ; on désigne par a l’affixe de F.

Montrer que C et H sont les ensembles des points du plan dont les affixes vérifient respectivement

(C ) zz = aa, (H) (za) (

za )

+ (

zz )2

= 0.

En déduire que C H est l’ensemble des points du plan dont les affixes véri- fient une équation de la forme :

(

za )(

z3−k )

= 0

k est un nombre complexe dont on exprimera le module et l’argument en fonction dumodule r et de l’argument ϕ de a. Conclure.

PROBLÈME

On note N⋆ l’ensemble des entiers naturels non nuls et P l’ensemble des nombres premiers. À tout n ∈ N⋆ on associe l’ensemble Dn des d ∈ N⋆ qui divisent n, l’en- semble Cn des (d1, d2) ∈ (N⋆)2 tels que d1d2 =n, et l’ensemble Γn des (d1, d2, d3) ∈ (N⋆)3 tels que d1d2d3 =n. Le p.g.c.d. des entiersm et n est notémn.

Partie A

Dans tout le problème, on appelle suite une application de N⋆ dans R et on note U l’ensemble des suites. On admet que l’on dispose du groupe (U , +), la loi (+) étant définie par :

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

∀(u ; v) ∈U 2, ∀n ∈N⋆, (u+ v)(n)=u(n)+ v(n).

On définit une seconde loi interne (T) sur U par :

∀(u ; v) ∈U 2, ∀n ∈N⋆, (u T v)(n)= ∑

dDn

u(d) · v (n

d

)

.

C’est ainsi que : (u T v)(4)= u(1)v(4)+u(2)v(2)+u(4)v(1).

1. Vérifier que, pour tout (u,v,w) ∈U 3 et tout n ∈N⋆

(u T v)(n)= ∑

(d1 , d2)∈Cn

u (d1) · v (d2) .

((u T v) T w)(n)= ∑

(d1, d2, d3)∈Γn

u (d1) · v (d2) ·w (d3) .

Quelles propriétés de la loi (T) découlent de ce résultat (que l’on pourra ad- mettre, à défaut de démonstration) ?

2. La loi (T) admet-elle un élément neutre ? Le triplet (,U, +-, T) est-il un anneau ?

Partie B

Une suite u ∈U est dite régulière si et seulement si elle vérifie :

u(1)= 1, u(qq ′)=u(q)u(q ′)pour tout (q,q ′) ∈ (

N⋆ )2

tel queqq ′ = 1.

1. Montrer que sont régulières les suites θ, ψ et fm définies par

n ∈N⋆, θ(n)= 1, ψ(n)=n, fm (n)=mn

(oùm ∈N⋆ est donné).

2. Soit u une suite régulière. Vérifier que u (

q1 · · ·qn )

=

n

i=1 u

(

qi )

pour tout

(

q1, · · · , qk )

∈ (

N ⋆ )k tel que q1, · · · , qk soient premiers entre eux deux à deux.

Exprimer u(n) pour n = n

i=1 p αi i , avec

(

1, · · · , pk )

∈ (P)k et (α1, · · · ; αl ) ∈ (

N ⋆ )k .

Partie C

1. Montrer que si les suites u et v sont régulières, alors la suite u T v est régulière.

2. À n ∈N⋆, on associe le nombre v(n) des diviseurs de n dans N⋆ et la somme σ(n) de ces diviseurs. Montrer qu’il existe deux suites régulières u1, et u2 telles que v = e T u1, et σ= e T u2. En déduire que les suites v et cr sont régulières.

Les notations étant celles de B 2., donner des expressions de v(n) et σ(n). En particulier, calculer v(700) et σ(700).

3. Montrer qu’est régulière la suite lambda définie par : „(1) = 1 ; À (n) = 0 si n est divisible par le carré d’un nombre premier ; i, (n) = (- 1)k si n est le produit de k nombres premiers deux à deux distincts. Déterminer l’image de n E N* pàr chacune des suites "T ! :) "Tv "Tcr "1’„. j

Tel Aviv 2 juin 1976

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome