Travaux pratiques de géométrie 5, Exercices de Géométrie analytique et calcul

Travaux pratiques de géométrie 5, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Travaux pratiques de géométrie 5 sur la nature de la conique d’équation. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le troisième polynôme, la primitive de f.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Besançon juin 1972 \

EXERCICE 1

Donner la nature de la conique d’équation

9x2−4y2−18x −16y −43 = 0.

puis la dessiner en repère orthonormé en précisant ses axes, ses sommets, ses foyers

et ses directrices.

EXERCICE 2

Développer, par la formule du binôme de Newton, les polynômes suivants :

(x +1)2n , (x −1)2n et (

x2−1 )2n

En déduire que la somme suivante :

1− (

C12n )2 +

(

C22n )2 −

(

C32n )2 +·· ·+ (−1)2n

(

C2n2n )2

est égale a (−1)n [

(n+1)(n+2) · · ·2n

n!

]

.

Pour cela, on étudiera le coefficient du terme en x2n dans le produit des deux pre-

miers polynômes, puis dans le troisième polynôme.

PROBLÈME

Soit la fonction, de R vers R, définie par

x f (x)= xe−x+1.

1. Rappeler la limite de ex

x lorsque x tend vers +∞, puis étudier la fonction et la

représenter en repère orthonormé.

On trouvera le point d’inflexion de la courbe, qui sera nommée (γ), c’est-à-

dire le point de (Γ), courbe représentative de f en lequel f ′′(x)= 0.

2. Soit le nombre réel donné λ> 0.

Trouver l’aire du domaine situé entre la courbe, l’axe xx et la droite d’équa-

tion x =λ.

Pour cela, on cherchera une primitive de f de la forme x 7−→ (ax +b)e−x+1.

Cette aire a-t-elle une limite quand λ tend vers +∞ ?

3. On considère maintenant le mobile, M , suivant :

{

x = t ,

y = te−t+1, ∀t ∈R.

Trouver la trajectoire du mobile, son vecteur vitesse, −→ V , et son vecteur accé-

lération, −→ Γ . On rappelle que le mouvement est dit accéléré dans l’intervalle

]t ′ ; t ′′[ deR si, dans cet intervalle, ∥

−→ V

2 est une fonction croissante du temps,

c’est-à-dire si −→ V ·

−→ Γ > 0, et retardé si c’est une fonction décroissante, c’est-à-

dire si −→ V ·

−→ Γ < 0.

Préciser dans quels intervalles de R le mouvement est accéléré et dans quels

intervalles il est retardé. Préciser aussi le sens dumouvement.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

4. En utilisant le calcul, déjà fait, de f ′(x) et de f ′′(x), exprimer f n (x) à l’aide de f n−1(x). Exprimer f n(x) à l’aide de f (x), n et x.

Besançon 2 juin 1972

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