Travaux pratiques de géométrie 7, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Travaux pratiques de géométrie 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les matrices A et B, les trois intégrales, la forme.
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[ Baccalauréat C Toulouse septembre 1976 \

EXERCICE 1

1. Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturelm, les restes dans la division euclidienne par 16 des entiers : 5m , 6m .

2. Soit (un ) la suite arithmétique de raison 16 et de premier terme u0 = 9, et (

vp )

la suite géométrique de raison 5 et de premier terme v0 = 1.

Démontrer que ces deux suites ont une infinité de termes égaux dont on cal- culera les deux premiers,

3. Soit (

un )

la suite arithmétique de raison 16 et de premier terme u′0 = 8, et (

v p

)

la suite géométrique de raison 6 et de premier terme v o0 = 9.

Démontrer que ces deux suites n’ont qu’un seul terme commun que l’on dé- terminera,

EXERCICE 2

Le plan vectoriel −→ P étant rapporté à la base

(

−→ ı ,

−→

)

, on considère les endomor-

phismes p et q de −→ P ayant respectivement pourmatrices A etB dans la base

(

−→ ı ,

−→

)

.

A =

1

2

1

2 1

2

1

2

B =

1

2 − 1

2

− 1

2

1

2

1. Démontrer que p et q sont des projections vectorielles et déterminer les sous- espaces vectoriels de P qui les caractérisent.

2. On considère l’ensemble F des endomorphismes f(a,b) de −→ P tels que :

f(a,b) = ap+bq, (a ; b) ∈R 2

a. Donner une condition sur a et b pour que f(a,b) soit une bijection, et démontrer que le sous-ensemble des bijections de F muni de la compo- sition des applications est un groupe abélien.

b. Démontrer que f(1,−1) et f (−1,1) sont des symétries vectorielles et déter-

miner les sous-espaces vectoriels de −→ P qui les caractérisent.

PROBLÈME

Partie A

Calculer les trois intégrales :

∫1

0 ex dx,

∫1

0 xex dx,

∫1

0 x2ex dx

En déduire que si g (x)= x(x+2−e), alors ∫1

0 g (x)dx = 0.

Partie B

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

Si t est un nombre réel fixé, on considère la fonction de la variable réelle x

ft (x)= (xt)e x 2

Soit E l’ensemble des couples (t1 ; t2) de R2 tels que ∫1

0 ft1 (x) ft2 (x)dx = 0.

1. Montrer en utilisant la fonction g de la partie A que E n’est pas vide.

2. Démontrer qu’un élément (t1 ; t2) de R2 appartient à E si et seulement si

(e−1)t1t2− (t1+ t2)+e−2= 0.

Écrire cette condition sous la forme :

(t1−α) (

t2−α)=−k 2 (1)

α et k sont des réels que l’on calculera (pour établir l’existence de k2, on pourra vérifier l’inégalité (e−1)2 > e en utilisant l’encadrement 2,7< e< 2,8).

3. En étudiant le signe de ft1 (x) ft2 (x) sur [0 ; 1], démontrer que si (t1 ; t2) appar- tient à E, l’un au moins des deux réels t1 ou t2 appartient à [0 ; 1].

Partie C

Dans un plan affine euclidien P rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, on

désigne par At le point de coordonnées (t ; 0).

1. Démontrer en utilisant (1) qu’il existe deux points du plan, I et J , tels que (t1 ; t2) appartient à E si et seulement si

−−−→ IAt1 ·

−−−→ IAt2 =

−−−→ JAt1 ·

−−−→ JAt2 = 0.

2. Établir que (t1 ; t2) appartient à E si et seulement si le cercle dediamètre [

At1 , At2 ]

passe par I et J.

3. Calculer à l’aide d’une remarque géométrique simple le minimum de |t2− t1| quand (t1 ; t2) décrit E.

4. Déduire du 2. par une interprétation géométrique du B 1. ou B 3. que I et J appartiennent au disque de diamètre [A0, A1].

N.B. - Il est conseillé de faire des figures dans cette partie.

Toulouse 2 septembre 1976

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