Travaux pratiques de géométrie 7, Exercices de Géométrie analytique et calcul

Travaux pratiques de géométrie 7, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Travaux pratiques de géométrie 7 sur la fonction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des solutions du système, la condition définie par une application.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Caen juin 1972 \

EXERCICE 1

Soit f la fonction, de ]0 ; +∞[ dans R, définie par

f (x)= xLog x

x−1 , pour x 6= 1 et f (1)= 1

1. La fonction f est-elle continue dans ]0 ; +∞[ ?

Calculer f ′(x) pour x = f .1.

2. Soit g la fonction de ]0 ; +∞[ dans R, définie par

g (x)= x−1−Log x.

Étudier le sens de variation de g ; en déduire le signe de g (x) et le sens de variation de f .

EXERCICE 2

Soit a et b deux entiers naturels donnés. On se propose de déterminer l’ensemble des solutions du système

x ∈ Z, x a [9], x b [11].

1. Démontrer que toutes les solutions sont congrues à unmêmenombremodulo 99. (On pourra utiliser l’identité de Bezout.)

2. Déterminer l’ensemble des solutions du système.

PROBLÈME

Soit (E) un plan affine rapporté à un repère cartésien (

O, −→ ı ,

−→ )

d’axes Ox et Oy . Il a

pour espace vectoriel associé le plan vectoriel R2. Soit deux points distincts de (E), M de coordonnées (a, b) et M ′ de coordonnées

(

a′ ; b′ )

. On désigne par P et P ′ les projections respectives de M et de M ′ sur Ox parallèlement à Oy , par Q et Q ′ les projections respectives deM et M ′ sur Oy parallèlement à Ox.

1. a. On suppose d’abord que les vecteurs −−−→ PQ ′ et

−−−→ P Q sont non nuls. Écrire,

en fonction de a,b,a′ et b′, les équations des trois droites PQ ′,P Q et MM ′. Démontrer que ces trois droites sont, soit parallèles, soit concou- rantes.

b. Dans le cas où le vecteur −−−→ PQ ′ est nul, quelle est la position relative des

deux droites P Q et MM ′ ?

Examiner aussi le cas où le vecteur −−−→ P Q est nul.

2. Soit un réel, α, non nul et le vecteur −→ t +

−→ ı =α

−→ .

Donner une condition nécessaire et suffisante (liant a,b,a′,b′ et α) pour que

les trois vecteurs −−−→ PQ ′ ,

−−−→ P Q et

−−−−→ MM ′ soient colinéaires à

−→ t .

Démontrer que la condition précédente définit une application de (E) dans (E), telle que

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

{

(M) = M ′ pourM 6=O (O) = O.

Démontrer que est affine et involutive.

Démontrer que est une symétrie, dont on précisera les éléments.

3. Soit ϕα l’application linéaire de R2 dans R2 associée à . Écrire la matrice de

ϕα dans la base (

−→ ı ,

−→ )

. Soit Φ l’ensemble des applications telles que α

appartienne à l’ensemble des réels non nuls.

Soit x et y deux réels non nuls, calculer les matrices de ϕβ ϕγ et de ϕγ ϕβ

dans la base (

−→ ı ,

−→ )

.

Dans quel cas ces. deux matrices sont-elles égales ?

Soit δ un réel non nul. Démontrer que ϕγ ϕβ ϕδ appartient àΦ.

Démontrer que le composé d’un nombre impair d’éléments de Φ est un élé- ment deΦ.

Caen 2 juin 1972

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