Travaux pratiques de géométrie 8, Exercices de Géométrie analytique et calcul

Travaux pratiques de géométrie 8, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Travaux pratiques de géométrie 8 sur les éléments de la transformation. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère orthonormé, le transformé de (C) par la transformation (T ).
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Caen septembre 1971 \

EXERCICE 1

Dans le plan complexe, on associe à tout point M d’affixe z, le point M ′ d’affixe z ′, tel que

z ′ = iz +1− i.

Déterminer les éléments de la transformation T qui associe, au point M , le point M ′.

EXERCICE 2

Le plan (P) étant rapporté à un repère orthonormé Ox, Oy , étudier l’ensemble (C) des points M du plan (P) dont les coordonnées x et y vérifient la condition

y2 = (m −2)x2−2(m +3)x +5m

(m est un paramètre réel). Déterminer la nature de (C) et, lorsqu’ils existent, le centre, les axes de symétrie et l’équation réduite de (C).

PROBLÈME

Soit un plan (P) rapporté à un repère orthonormé (x′Ox, y ′Oy) et un point A de x′Ox d’abscisse +a (a > 0). On définit la transformation (T ) qui à un point M de coordonnées x et y du plan (P) associe le point M ′ de coordonnées x′ et y ′ de ce même plan, tel que les droites OM et OM ′ soient perpendiculaires et les points A, M et M ′ alignés.

Partie A

1. Déterminer géométriquement la partie (E) de (P) sur laquelle la transforma- tion (T ) est définie.

2. Soit (

E′ )

l’ensemble des points de (E) qui n’appartiennent pas aux axes x′Ox et y ′Oy . Démontrer que T

(

E′ )

est contenu dans (

E′ )

et que la restriction de (T ) à (

E′ )

est involutive.

3. Soit (C) l’ensemble des points M de (

E′ )

, tels que

(MA,MO)= θ (moduloπ) (

θ 6= π

2 et θ 6= 0

)

Déterminer géométriquement le transformé de (C) par la transformation (T ).

Partie B

1. Démontrer que les coordonnées des points M et M ′ vérifient les relations

x′ = ay2

x2+ y2−ax et y ′ =

ax y

x2+ y2−ax

2. Soit I le point d’intersection de la droite M M ′ et de l’axe y y . Quelle relation les abscisses x et x′ des points M et M ′ doivent-elles vérifier pour que la division (A, I ; M , M ′) soit harmonique ? Quel est alors l’ensemble des points M ?

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. Quelle relation les abscisses x et x′ des points M et M ′ doivent-elles vérifier pour que ces deux points se correspondent dans l’inversion de pôle A et de puissance a2 ? En déduire que les coordonnées x et y de M vérifient la relation y f (x), avec

f (x)= x

a x

a + x .

Étudier les variations de la fonction f qui à x associe f (x) et tracer pour

a = 4 l’ensemble des points M (on prendra le centimètre comme unité de lon- gueur).

Caen 2 septembre 1971

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