Travaux pratiques de géométrie 9, Exercices de Géométrie analytique et calcul

Travaux pratiques de géométrie 9, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Travaux pratiques de géométrie 9 sur les deux fonctions réelles f. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'espace vectoriel, l'automorpisme involutif, la courbe.
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Duréée : 4 heures

[ Baccalauréat C Sud Cameroun juin 1972 \

EXERCICE 1

Étudier les deux fonctions réelles f et g suivantes, de la variable réelle x :

f : x 7−→ Log ∣

∣ex −1 ∣

∣ et g : x 7−→ Log ∣

∣ex +1 ∣

Tracer les courbes représentatives (F ) et (G) dans un repère orthonormé. Montrer que la première bissectrice est axe de symétrie pour l’ensemble (F ) ∪ (G).

EXERCICE 2

Partie A

L’espace E est un espace vectoriel, de dimension supérieure à 1, sur R. Soit L un automorphisme involutif de E dans E, donc tel que L L = IE (application identique de E dans E).

1. Un vecteur −→ u non nul est dit vecteur propre pour L s’il existe un réel λ (ap-

pelé valeur propre) tel que L (

−→ u

)

= λ −→ u . Le vecteur

−→ u est alors appelé vecteur

propre associé à la valeur propre λ.

Montrer que les valeurs propres, si elles existent, ne peuvent Ítre que 1 et −1.

Étudier les cas où L est IE c’est-à-dire l’application −→ u 7−→

−→ u , et l’application

−→ u 7−→−

−→ u .

2. On suppose qu’il existe un automorphisme involutif, L, différent des deux ap- plications précédentes.

Il existe donc un vecteur −→ v tel que

−→ v +L

(

−→ v

)

soit différent de 0 et −→ w tel que

−→ w L

(

−→ w

)

soit différent de 0.

À quoi L

[

1

2

(

−→ v +L

(

−→ v

))

]

et L

[

1

2

(

−→ w L

(

−→ w

))

]

sont-ils égaux ?

En déduire que l’ensemble des vecteurs propres associés à la valeur propre+1 et celui des vecteurs propres associés à la valeur propre −1 ne sont pas vides.

On appelle V l’ensemble constitué des vecteurs propres associés à+1 et de −→ 0 ,

et W celui constitué des vecteurs propres associés à −1 et de 0.

Montrer que V et W sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E.

Partie B

On suppose que E est l’espace vectoriel de R2 sur R, rapporté à la base (

−→ ı ,

−→

)

.

1. Comment doit-on choisir les réels a,b,c et d pour que a matrice

(

a c

b d

)

re-

présente un automorpisme involutif, dans la base (

−→ ı ,

−→

)

? Déterminer l’en-

semble de ces matrices.

2. Soit S l’application linéaire représentée, dans (

−→ ı ,

−→

)

, par

(

m m+1 1−m m

)

, m étant un réel

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

S est-elle involutive ?

Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres associés.

On appellera −→ I un des vecteurs propres associés à +1 et

−→ J un des vecteurs

propres associés à −1. S (

−→ I

)

= −→ I et S

(

−→ J

)

=− −→ J .

Montrer que (

−→ I ,

−→ J

)

est une nouvelle base de l’espace.

Quelle est la matrice de S dans cette nouvelle base ?

3. Dans l’espace affine associé à E, rapporté au repère (

O, −→ I ,

−→ J

)

, on définit l’ap-

plication, s, qui, aupointM , associe le pointM ′ = s(M), tel que −−−→

OM ′ = S (

−−−→ OM

)

.

On appelle (C ) la courbe ayant pour équation

x2+ y2 = 1,

dans ce repère.

Donner, toujours dans le repère (

O, −→ I ,

−→ J

)

, l’équation de la courbe transfor-

mée de (C ) par s. Que peut-on dire de (C ) ?

Sud Cameroun 2 juin 1972

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