Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 1, Exercices de Géométrie analytique et calcul. Université Bordeaux I
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 1, Exercices de Géométrie analytique et calcul. Université Bordeaux I

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Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la limite, l'équation, le centre et le rayon.
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[ Baccalauréat blanc S – 4 heures \ Lycée Pierre Mendès-France - Tunis 2007

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Exercice 1 : 4 points Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances.

Partie A : question de cours On suppose connus les résultats suivants :

1. Deux suites (un) et (vn) sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est décroissante et la différence un vn tend vers 0 quand n tend vers +∞.

2. si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes telles que (un) est croissante et (vn) est décroissante, alors pour tout n appartenant àN, on a un 6 vn .

3. Toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente.

Démontrer alors la proposition suivante : Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite.

Partie B On considère une suite (un), définie surN dont aucun terme n’est égal à −3. On définit alors la suite (vn) surN par vn = −2

3+un .

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une dé- monstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d’uneproposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

1. Si (un) est convergente, alors (vn) est convergente.

2. Si (un) est minorée par −1, alors (vn) est minorée par −1. 3. Si (un) est décroissante, alors (vn) est croissante.

4. Si (un) est divergente, alors (vn) est divergente.

Exercice 2 : 5 points Pour tout réel k strictement positif, on considère la fonction fk définie sur [0 ; +∞[ par

fk (x)= ln ( ex +kx)−x.

On noteCk la courbe représentative de la fonction fk dans le planmuni d’un repère

orthogonal ( O,

−→ ı ,

−→

) , unités graphiques : 5 cm en abscisses et 10 cm en ordonnées.

1. En étudiant le sens de variation d’une fonction convenablement choisie, dé- montrer que pour tout réel positif x, ln(1+x)6 x.

2. Calculer f k (x) pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[ et en déduire le sens de variation de la fonction fk .

3. Montrer que pour tout réel positif x,

fk (x)= ln ( 1+k x

ex

) .

En déduire la limite de fk en +∞. 4. a. Dresser le tableau de variations de fk .

b. Montrer que pour tout réel positif x,

fk (x)6 k

e .

1

5. Déterminer une équation de la tangente Tk à la courbe Ck au point O.

6. Tracer la courbe C1 ainsi que sa tangente en O.

Exercice 3 : 6 points

Le plan est rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) (unité graphique :

2 cm). On considère les points A, B et C d’affixes respectives

zA =−1+ i p 3, zB =−1− i

p 3 et zC = 2.

1. Placer ces points sur un dessin.

2. a. Vérifier que zB− zC zA− zC

= ei π3 . b. En déduire la nature du triangle ABC.

c. Déterminer le centre et le rayon du cercle Γ1 circonscrit au triangle ABC. Tracer le cercle Γ1.

3. a. Établir que l’ensemble Γ2 des pointsM d’affixe z qui vérifient

2 ( z+ z)+ zz = 0

est un cercle de centreΩ d’affixe −2. Préciser son rayon. Construire Γ2. b. Vérifier que les points A et B sont éléments de Γ2.

4. On appelle r1 la rotation de centre A et d’angle π

3 .

a. Quelles sont les images des points A et B par la rotation r1 ? Construire l’image C1 du point C par la rotation r1 puis calculer son affixe.

b. Déterminer l’image du cercle Γ2 par la rotation r1.

5. Soit r une rotation. Pour tout pointM d’affixe z, on noteM ′ l’image deM par r et z ′ l’affixe deM ′. On posera : z ′ = az+b, avec a et b des nombres complexes vérifiant |a| = 1 et a 6= 1. On suppose que r transforme le cercle Γ2 en le cercle Γ1.

a. Quelle est l’image du pointΩ par r ? En déduire une relation entre a et b.

b. Déterminer en fonction de a l’affixe du point r (C), image du point C par la rotation r . En déduire que le point r (C) appartient à un cercle fixe que l’on définira. Vérifier que ce cercle passe par C1.

Exercice 4 : 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialitémathématiques. On étudie le mouvement aléatoire d’une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C. Soit n un entier naturel. À l’instant initial n = 0, la puce se trouve en A.

• Si à l’instant n la puce est en A, alors à l’instant (n+1), elle est soit en B avec une probabilité égale à

1

3 , soit en C avec une probabilité égale à

2

3 .

• Si à l’instant n la puce est en B, alors à l’instant (n+1), elle est soit en A, soit en C de façon équiprobable.

• Si à l’instant n la puce est en C, alors elle y reste. On désigne par An (resp. Bn et Cn) l’évènement : à l’instant n la puce est en A (resp. B et C). On pose an = P (An), bn = P (Bn) et cn = P (Cn). On a donc a0 = 1, b0 = 0 et c0 = 0. Pour traiter cet exercice, on pourra s’aider d’arbres pondérés.

2

1. Étude dumouvement pour 16 n 6 3.

a. Donner a1, b1 et c1. Calculer a1+b1+c1. b. À l’instant n = 2, dans quelles cases la puce peut-elle se trouver ?

Déterminer a2,b2 et c2.

c. À l’instant n = 3, dans quelles cases la puce peut-elle se trouver ? En déduire a3 . Calculer b3 et vérifier que c3 = 17

18 .

2. Étude du cas général.

a. Conjecturer les cases sur lesquelles la puce peut se trouver à l’instant n lorsque l’entier n est pair (n = 2k avec k ∈ N), et les cases sur lesquelles elle peut se trouver si l’entier n est impair (n = 2k+1 avec k ∈N). En déduire (sans autre justification) la valeur de a2k+1.

b. Démontrer que

 b2k+1 =

1

3 a2k

a2k+2 = 1

2 b2k+1

c. Montrer que, pour tout entier naturel k,a2k = ( 1

6

)k .

3. a. Déterminer le plus petit entier naturel N tel que

pour tout entier n >N , an 6 10 −6.

b. Montrer que la suite (an)n∈N est convergente. Préciser sa limite.

Exercice 4 : 5 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité mathématiques.

1. On considère l’équation diophantienne :

8x+5y = 1 [E ]

d’inconnue le couple d’entiers relatifs (x, y).

a. Citer un théorème permettant d’affirmer que l’équation [E ] a des solu- tions.

b. Donner une solution particulière de [E ].

c. Résoudre alors dans Z×Z l’équation [E ]. 2. Soit N un entier naturel tel qu’il existe un couple (a, b) de nombres entiers

vérifiant : { N = 8a+1 N = 5b+2

a. Montrer que le couple (a, −b) est solution de [E]. b. Quel est le reste dans la division euclidienne deN par 40 ?

3. On considère l’équation :

8X +5Y = 100 [E ′]

d’inconnue le couple d’entiers relatifs (X , Y ).

a. Résoudre [E ′]. b. Au VIIIe siècle, un groupe composé d’hommes et de femmes a dépensé

100 pièces de monnaie dans une auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces chacune. Combien pouvait-il y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ?

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