Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 1, Exercices de Géométrie analytique et calcul

Télécharge Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 1 et plus Exercices au format PDF de Géométrie analytique et calcul sur Docsity uniquement! [ Baccalauréat blanc S – 4 heures \ Lycée Pierre Mendès-France - Tunis 2007 L’utilisation de la calculatrice est autorisée Exercice 1 : 4 points Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances. Partie A : question de cours On suppose connus les résultats suivants : 1. Deux suites (un) et (vn) sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est décroissante et la différence un − vn tend vers 0 quand n tend vers +∞. 2. si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes telles que (un) est croissante et (vn) est décroissante, alors pour tout n appartenant àN, on a un 6 vn . 3. Toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente. Démontrer alors la proposition suivante : Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite. Partie B On considère une suite (un), définie surN dont aucun terme n’est égal à −3. On définit alors la suite (vn) surN par vn = −2 3+un . Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une dé- monstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. 1. Si (un) est convergente, alors (vn) est convergente. 2. Si (un) est minorée par −1, alors (vn) est minorée par −1. 3. Si (un) est décroissante, alors (vn) est croissante. 4. Si (un) est divergente, alors (vn) est divergente. Exercice 2 : 5 points Pour tout réel k strictement positif, on considère la fonction fk définie sur [0 ; +∞[ par fk (x) = ln ( ex +kx)−x. On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans le plan muni d’un repère orthogonal ( O, −→ ı , −→  ) , unités graphiques : 5 cm en abscisses et 10 cm en ordonnées. 1. En étudiant le sens de variation d’une fonction convenablement choisie, dé- montrer que pour tout réel positif x, ln(1+x) 6 x. 2. Calculer f ′k (x) pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[ et en déduire le sens de variation de la fonction fk . 3. Montrer que pour tout réel positif x, fk (x) = ln ( 1+k x ex ) . En déduire la limite de fk en +∞. 4. a. Dresser le tableau de variations de fk . b. Montrer que pour tout réel positif x, fk (x) 6 k e . 1 5. Déterminer une équation de la tangente Tk à la courbe Ck au point O. 6. Tracer la courbe C1 ainsi que sa tangente en O. Exercice 3 : 6 points Le plan est rapporté au repère orthonormal direct ( O, −→ u , −→ v ) (unité graphique : 2 cm). On considère les points A, B et C d’affixes respectives zA =−1+ i p 3, zB =−1− i p 3 et zC = 2. 1. Placer ces points sur un dessin. 2. a. Vérifier que zB − zC zA − zC = ei π3 . b. En déduire la nature du triangle ABC. c. Déterminer le centre et le rayon du cercle Γ1 circonscrit au triangle ABC. Tracer le cercle Γ1. 3. a. Établir que l’ensemble Γ2 des points M d’affixe z qui vérifient 2 ( z + z)+ zz = 0 est un cercle de centreΩ d’affixe −2. Préciser son rayon. Construire Γ2. b. Vérifier que les points A et B sont éléments de Γ2. 4. On appelle r1 la rotation de centre A et d’angle π 3 . a. Quelles sont les images des points A et B par la rotation r1 ? Construire l’image C1 du point C par la rotation r1 puis calculer son affixe. b. Déterminer l’image du cercle Γ2 par la rotation r1. 5. Soit r une rotation. Pour tout point M d’affixe z, on note M ′ l’image de M par r et z ′ l’affixe de M ′. On posera : z ′ = az +b, avec a et b des nombres complexes vérifiant |a| = 1 et a 6= 1. On suppose que r transforme le cercle Γ2 en le cercle Γ1. a. Quelle est l’image du pointΩ par r ? En déduire une relation entre a et b. b. Déterminer en fonction de a l’affixe du point r (C), image du point C par la rotation r . En déduire que le point r (C) appartient à un cercle fixe que l’on définira. Vérifier que ce cercle passe par C1. Exercice 4 : 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité mathématiques. On étudie le mouvement aléatoire d’une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C. Soit n un entier naturel. À l’instant initial n = 0, la puce se trouve en A. • Si à l’instant n la puce est en A, alors à l’instant (n +1), elle est soit en B avec une probabilité égale à 1 3 , soit en C avec une probabilité égale à 2 3 . • Si à l’instant n la puce est en B, alors à l’instant (n +1), elle est soit en A, soit en C de façon équiprobable. • Si à l’instant n la puce est en C, alors elle y reste. On désigne par An (resp. Bn et Cn) l’évènement : à l’instant n la puce est en A (resp. B et C). On pose an = P (An), bn = P (Bn) et cn = P (Cn). On a donc a0 = 1, b0 = 0 et c0 = 0. Pour traiter cet exercice, on pourra s’aider d’arbres pondérés. 2